Question

17．如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，过点D作DE∥AB，交BC于E，且DE=BC，连接AC交AC于F，若∠ACB=∠CDE=30°，则图中有几个等腰三角形？请找出来并说明理由．

Answer 1

分析 首先证明△DCE≌△CAB推出CA=CD，再证明∠FCD=∠FDC=30°即可解决问题．

解答 解：共有两个等腰三角形，分别是△ACD，△DCF．
理由：∵DE∥AB，
∴∠DEC=∠B，
在△DCE和△CAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDE=∠ACB}\\{DE=BC}\\{∠DEC=∠B=90°}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△CAB，
∴CA=CD，
∴△ACD是等腰三角形，
∵∠B=90°，
∴∠DEC=90°，
∵∠ACB=∠CDE=30°，
∴∠DCE=90°-∠CDE=60°，
∴∠DCF=∠DCE-∠ACE=30°=∠CDE，
∴DF=CF，
∴△DCF是等腰三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质和含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．