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    等腰△ABC，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，P为BC的中点，小亮拿着30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．

    (1)如图，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；

    (2)操作：将三角板绕点P旋转到下图情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．

    ①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？

    ②探究2：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；

    设EF＝m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．

    答案：
    解析：

    　　解：(1)证明：

    　　而

    　　

    　　所以

    　　由可知

    　　结论成立．(3分)

    　　(2)①相似(4分)

    　　②相似(5分)

    　　理由：由△BPE与△CFP相似可得

    　　即，而

    　　知结论成立(6分)

    　　③由△BPE与△PFE相似得，即，过F作PE垂线可得

    　　(7分)


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    [　　]

    A．①②③

    B．①②④

    C．①③④

    D．②③④

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    在等腰△ABC，AB＝AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是________(填序号即可)

    ①AF＝AG＝AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME

    (2)数学思考：

    在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量关系？请给出证明过程；

    (3)类比探究：

    (i)在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MEC的形状．答：________．

    (ii)在三边互不相等的△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作(非等腰)直角三角形ABD和(非等腰)直角三角形ACE，M是BC的中点，连接MD和ME，要使(2)中的结论时仍然成立，你认为需增加一个什么样的条件？(限制用题中字母表示)并说明理由．

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