Question

如图，已知AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点G为上一点，GE⊥AB，垂足为点E，交AC于点D，过点C的切线与AB的延长线交于点F，与EG的延长线交于点P，连接AG．
（1）求证：△PCD是等腰三角形；
（2）若点D为AC的中点，且∠F=30°，BF=2，求△PCD的周长和AG的长．

Answer 1

(1)证明见解析
（2）△PCD的周长为3；AG=6

试题分析：（1）连结OC，由PF为切线可得∠OCP=90°，即∠1+∠PCD=90°，由GE⊥AB得∠GEA=90°，则∠2+∠ADE=90°，利用∠1=∠2得到∠PCD=∠ADE，根据对顶角相等得∠ADE=∠PDC，所以∠PCD=∠PDC，于是根据等腰三角形的判定定理得到△PCD是等腰三角形；
（2）连结OD，BG，在Rt△COF中根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出OC=2，由于∠FOC=90°，∠F=30°，所以∠FOC=60°，由三角形外角性质可知∠1=∠2=30°，则∠PCD=90°﹣∠1=60°，从而△PCD为等边三角形；再由D为AC的中点，由垂径定理得到OD⊥AC，AD=CD，在Rt△OCD中，可得OD=OC=1，CD=OD=，所以△PCD的周长为3；然后在Rt△ADE中，可得DE=AD=，AE=DE=，由AB为直径得到∠AGB=90°，再证明Rt△AGE∽Rt△ABG，利用相似比可计算出AG．
试题解析：（1）连结OC，如图，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP=90°，即∠1+∠PCD=90°，
∵GE⊥AB，
∴∠GEA=90°，
∴∠2+∠ADE=90°，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠PCD=∠ADE，
而∠ADE=∠PDC，
∴∠PCD=∠PDC，
∴△PCD是等腰三角形；

（2）连结OD，BG，如图，
在Rt△COF中，∠F=30°，BF=2，
∴OF=2OC，即OB+2=2OC，
而OB=OC，
∴OC=2，
∵∠FOC=90°﹣∠F=60°，
∴∠1=∠2=30°，
∴∠PCD=90°﹣∠1=60°，
∴△PCD为等边三角形，
∵D为AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴AD=CD，
在Rt△OCD中，OD=OC=1，
CD=OD=，
∴△PCD的周长为3；
在Rt△ADE中，AD=CD=，
∴DE=AD=，
AE=DE=，
∵AB为直径，
∴∠AGB=90°，
而∠GAE=∠BAG，
∴Rt△AGE∽Rt△ABG，
∴AG：AB=AE：AG，
∴AG²=AE•AB=×4=6，
∴AG=6．