如图.平面直角坐标系中.点P关于点A的关联点P′的定义如下:若在线段PA的延长线上存在一点P′.满足AP+AP′=2.则称为点P′为点P关于点A的关联点．特别地.当点P′是与点A重合时.规定:AP′=0．.N的关联点是否存在?若存在.求出其坐标,(2)如图.直线y=-x+1分别与x.y轴交于点B.C．①若点P(m.n)在直线y=-x+1上.且点P关于原点O(0.0)的关联点P′存在.求m的取值范围,②� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

7．如图，平面直角坐标系中，点P关于点A的关联点P′的定义如下：若在线段PA的延长线上存在一点P′，满足AP+AP′=2，则称为点P′为点P关于点A的关联点．特别地，当点P′是与点A重合时，规定：AP′=0．

（1）分别判断点M（1，0）、N（1，2）关于原点O（0，0）的关联点是否存在？若存在，求出其坐标；
（2）如图，直线y=-x+1分别与x、y轴交于点B、C．
①若点P（m，n）在直线y=-x+1上，且点P关于原点O（0，0）的关联点P′存在，求m的取值范围；
②若对于线段BC上的任意一点P，使得点P关于点A（a，0）的关联点P′存在，且点P′不在x轴上，求a的取值范围．

分析（1）求得M和N到原点O的距离，若小于或等于2时，有关联点，反之就没有，根据关联点定义即可求解；
（2）①首先求得在y=-x+1上，且到原点距离是2的点，据此即可求得m的范围；
②分成A在x轴负半轴和x轴正半轴两种情况进行讨论，求得到线段BC上点距离是2的点，据此即可求解．

解答解：（1）∵OM=1＜2，
∴M有关联点，关联点是（-1，0）；
∵N的坐标是（1，2），
∴ON=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$＞2，则N没有关联点；
（2）①当x=m时，y=-m+1=1-m，则P的坐标是（m，1-m）．
当OP=2时，m²+（1-m）²=4，
解得：m=$\frac{1±\sqrt{7}}{2}$，
则m的取值范围是$\frac{1-\sqrt{7}}{2}$≤m≤$\frac{1+\sqrt{7}}{2}$；
②在y=-x+1中，令x=0，解得y=1，则C的坐标是（0，1），
令y=0，解得x=1，则B的坐标是（1，0）．
作CD⊥BC，交x轴于点D，则CD=BC=$\sqrt{2}$＜2，
则当A在x轴的负半轴上，且AC=2时，OA=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
当A在x轴的正半轴上，OB=1，则OA=3，
则当a的范围是-$\sqrt{3}$＜a＜3．

点评本题考查了一次函数与和几何问题的综合应用，本题中理解关联点的定义，正确进行分类讨论是解题的关键．

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