Question

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）①写出图1中的一对全等三角形；②写出图1中线段DE、AD、BE所具有的等量关系；（不必说明理由）
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，请说明DE=AD-BE的理由；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．

Answer 1

分析：（1）证明△ADC≌△BEC（AAS）即可：已知已有两直角相等和AC=BC，再由同角的余角相等证明∠DAC=∠BCE即可；
（2）根据垂直定义求出∠BEC=∠ACB=∠ADC，根据等式性质求出∠ACD=∠CBE，根据AAS证出△ADC和△CEB全等即可；
（3）同样由三角形全等寻找边的关系，根据位置寻找和差的关系．

解答：解：（1）①△ADC≌△CEB．
理由如下：：∵∠ACB=90°，∠ADC=90°，∠BEC=90°
∴∠ACD+∠DAC=90°，∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC与△BEC中，

∠ADC=∠BEC=90°   ∠DAC=∠BCE   AC=BC

，
∴△ADC≌△BEC（AAS）；

②DE=CE+CD=AD+BE．理由如下：
由①知，△ADC≌△BEC，
∴AD=CE，BE=CD，
∵DE=CE+CD，
∴DE=AD+BE；


（2）∵AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
∴∠ADC=∠BEC=∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°．
∴∠CAD=∠BCE．
在△ADC和△CEB中

∠CDA=∠BCE ∠ADC=∠BEC AC=CB

，
∴△ADC≌△CEB．
∴CE=AD，CD=BE．
∴DE=CE-CD=AD-BE．

（3）同（2），易证△ADC≌△CEB．
∴AD=CE，BE=CD
∵CE=CD-ED
∴AD=BE-ED，即ED=BE-AD；
当MN旋转到图3的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明△ADC和△CEB全等的三个条件．题型较好．