Question

2．如图1，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BC于点E，连结OE．
（1）若OE=2，OB=4，求AE的长；
（2）如图2，若∠ABC=45°，∠AEB的角平分线EF交BD于点F，求证：BF=$\sqrt{2}$OE；
（3）如图3，若∠ABC=45°，AE与BD交于点H，连接CH并延长交AB于点G，连EG，直接写出$\frac{BH}{EG}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AC，理由勾股定理求出BC，根据$\frac{1}{2}$×BD×AC=BC×AE，即可解决问题．
（2）如图2中，连接AF，只要证明BF=AF，△AOF是等腰直角三角形即可解决问题．
（3）先证明△BHG≌△CAG，推出BH=AC，再证明GE∥AC，得到$\frac{EG}{AC}$=$\frac{BG}{AB}$=$\frac{BG}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，BD⊥AC，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴AC=2OE=4，OA=OC=2，BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵$\frac{1}{2}$×BD×AC=BC×AE，
∴$\frac{1}{2}$×8×4=2$\sqrt{5}$×AE，
∴AE=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

（2）如图2中，连接AF．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BF平分∠ABC，∵∠ABC=45°
∴∠ABF=22.5°，
∵EF平分∠AEB，
∴AF平分∠BAE，
∴∠BAF=22.5°，
∴∠FBA=∠FAB，
∴BF=AF，∠AFO=∠FBA+∠FAB=45°，
∴△AOF是等腰直角三角形，
∴AF=$\sqrt{2}$OA，
∵OA=OE，
∴BF=$\sqrt{2}$OE．

（3）结论：$\frac{BH}{EG}$=$\sqrt{2}$．
理由：如图3中，∵BO⊥AC，AE⊥BC，
∴CG⊥AB，∵∠ABC=45°，
∴∠CBG=∠BCG=45°，
∴BG=CG，
∵∠HBG+∠BHG=90°，∠ACG+∠CHO=90°，
∵∠BHG=∠CHO，
∴∠HBG=∠ACG，
在△BHG和△CAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BGH=∠CGA}\\{∠HBG=∠ACG}\\{BG=CG}\end{array}\right.$，
∴△BHG≌△CAG，
∴BH=AC，
∵$\frac{1}{2}$×AB×CG=$\frac{1}{2}$×BC×AE，AB=CB，
∴AE=CG，
∵BE=AE，BG=CG，
∴BG=BE，
∴$\frac{BG}{BA}$=$\frac{BE}{BC}$，
∴EG∥AC，
∴$\frac{EG}{AC}$=$\frac{BG}{BA}$=$\frac{BG}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{BH}{EG}$=$\frac{AC}{EG}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、菱形的性质、三角形的角平分线的性质，三角形的高的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用面积求有关线段，属于中考压轴题．