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(2010•济南)如图所示,菱形ABCD的顶点A、B在x轴上,点A在点B的左侧,点D在y轴的正半轴上,∠BAD=60°,点A的坐标为(-2,0).
(1)求线段AD所在直线的函数表达式;
(2)动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度,按照A?D?C?B?A的顺序在菱形的边上匀速运动一周,设运动时间为t秒、求t为何值时,以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切.

【答案】分析:(1)在Rt△AOD中,根据OA的长以及∠BAD的正切值,即可求得OD的长,从而得到D点的坐标,然后利用待定系数法可求得直线AD的解析式.
(2)由于点P沿菱形的四边匀速运动一周,那么本题要分作四种情况考虑:
在Rt△OAD中,易求得AD的长,也就得到了菱形的边长,而菱形的对角线平分一组对角,那么∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA=30°;
①当点P在线段AD上时,若⊙P与AC相切,由于∠PAC=30°,那么AP=2R(R为⊙P的半径),由此可求得AP的长,即可得到t的值;
②③④的解题思路与①完全相同,只不过在求t值时,方法略有不同.
解答:解:(1)∵点A的坐标为(-2,0),∠BAD=60°,∠AOD=90°,
∴OD=OA•tan60°=
∴点D的坐标为(0,),(1分)
设直线AD的函数表达式为y=kx+b,
解得
∴直线AD的函数表达式为.(3分)

(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴∠DCB=∠BAD=60°,
∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°,
AD=DC=CB=BA=4,(5分)
如图所示:
①点P在AD上与AC相切时,
AP1=2r=2,
∴t1=2.(6分)
②点P在DC上与AC相切时,
CP2=2r=2,
∴AD+DP2=6,
∴t2=6.(7分)
③点P在BC上与AC相切时,
CP3=2r=2,
∴AD+DC+CP3=10,
∴t3=10.(8分)
④点P在AB上与AC相切时,
AP4=2r=2,
∴AD+DC+CB+BP4=14,
∴t4=14,
∴当t=2、6、10、14时,以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切.(9分)
点评:此题主要考查了一次函数解析式的确定、解直角三角形、菱形的性质、切线的判定和性质等;需要注意的是(2)题中,点P是在菱形的四条边上运动,因此要将所有的情况都考虑到,以免漏解.
练习册系列答案
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(2)点P为线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M,以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N,分别连接AN、BM、MN.
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②在点P运动的过程中,四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值?并求出该最大值或最小值.

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