分析 (1)设直线AB的解析式为y=kx+b,把点A(0,3)和点B($\sqrt{3}$,0)代入y+kx+b得到$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{\sqrt{3}k+b=0}\end{array}\right.$解方程组即可.
(2)如图1中,连接BM.设AM=BM=r.在Rt△BMO中,由OM2+OB2=BM2,OM=3-r,OB=$\sqrt{3}$,可得(3-r)2+($\sqrt{3}$)2=r2,解方程即可.
(3)结论:PB=PA+PC,如图2中,连接AC、在PB上截取PN=PC,连接CN.首先证明△ACB,△PCN都是等边三角形,再证明△PCA≌△NCB,推出PA=BN,由此即可解决问题.
解答 解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,
把点A(0,3)和点B($\sqrt{3}$,0)代入y+kx+b得到$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{\sqrt{3}k+b=0}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=3}\end{array}\right.$,
∴直线AB的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+3.
(2)如图1中,连接BM.设AM=BM=r.
在Rt△BMO中,
∵OM2+OB2=BM2,OM=3-r,OB=$\sqrt{3}$,
∴(3-r)2+($\sqrt{3}$)2=r2,
∴r=2,
∴OM=3-2=1,
∴点M坐标为(0,1).
(3)结论:PB=PA+PC,理由如下:
如图2中,连接AC、在PB上截取PN=PC,连接CN.
∵OM⊥BC,
∴OC=OB,
∴AC=AB,
∵tan∠ABO=$\frac{AO}{OB}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$,
∴∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴AC=CB,∠ACB=∠CAB=60°,
∴∠CPB=∠CAB=60°,∵PC=PN,
∴△PCN是等边三角形,
∴CP=CN,∠PCN=60°,
∴∠PCN=∠ACB=60°,
∴∠PCA=∠NCB,∵PC=CN,CA=CB,
∴△PCA≌△NCB,
∴PA=BN,
∵PB=PN+BN,PN=PC,BN=PA,
∴PB=PA+PC.
点评 本题考查圆综合题、垂径定理、一次函数、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识,解题关键是灵活运用所学知识,学会添加常用辅助线,构造全等三角形,属于中考压轴题.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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