Question

如图，△ABC内接于⊙O，点D在弧BC上，过点D作DE∥BC．交直线AB于点E，连接AD交BC于点F，连接BD，若∠ADB=∠E．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AD=2

5

，BE=1，求AF的长度．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,平行线的性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）根据圆周角定理及平行线的性质不难求解；
（2）可利用△ABD∽△ADE，求出AB，AE的长度，再利用平行线分线段成比例定理求出AF的长度即可．

解答：解：（1）因为DE∥BC，所以∠ABC=∠E．
又因为∠ADB=∠C，∠ADB=∠E．
所以∠ABC=∠C，所以AB=AC．
（2）因为∠ADB=∠E，∠BAD=∠BAD，
所以△ABD∽△ADE，
所以AD²=AB•AE，且AD=2

5

，BE=1，所以设AB=x，则有(2

5

)2=x(x+1)
解得：x₁=-5，（舍去），x₂=4
所以AB=4，AE=5，
又因为DE∥BC，
所以

AB

AE

=

AF

AD

，即：

4

5

=

AF

2 5

，
所以AF=

8 5

5

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定以及应用，圆周角定理平行线的性质等的综合应用．