Question

9．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，BC=8，以BC为边，在△ABC外作等边△BCD，点E为BC中点，连接AE并延长交CD于点F．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的ABCD折叠，使点D和点A重合，折痕为GH，求CG的长．

Answer 1

分析 （1）先证明△ABE是等边三角形，得出∠AEB=60°，由△BCD是等边三角形，得出∠DBC=∠BCD=60°，∠ACD=90°，证得AB∥CD，BD∥AF，即可得出结论；
（2）求出AB=4，AC=4$\sqrt{3}$，设CG=x，则DG=8-x，在Rt△ACG中，AG²=AC²+CG²，代入解方程即可得出结果．

解答 （1）证明：∵∠BAC=90°，点E为BC中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC=BE，
∵∠ACB=30°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB=60°，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠DBC=∠BCD=60°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=30°+60°=90°，
∵∠DBC=∠AEB=60°，∠BAC=∠ACD=90°，
∴AB∥CD，BD∥AF，
∴四边形ABDF是平行四边形；

（2）解：∵∠BAC=90°，∠ACB=30°，BC=8，
∴AB=4，AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∵△BCD是等边三角形，
∴CD=BC=8，
设CG=x，则DG=8-x，
在Rt△ACG中，AG²=AC²+CG²，
即：（8-x）²=x²+（4$\sqrt{3}$）²，
解得：x=1，
∴CG=1．

点评 本题主要考查了等边三角形的判定与性质、平行线的判定、平行四边形的判定、含30°角直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与勾股定理是解决问题的关键．