Question

13．如图，在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点0．
（1）当$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$时，求$\frac{AO}{AD}$的值：
（2）当$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}、\frac{1}{4}$时，求$\frac{AO}{AD}$的值；
（3）试猜想$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{n+1}$时$\frac{AO}{AD}$的值，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）过D作DF∥BE，根据平行线分线段成比例定理，可得出AO：AD=AE：AF，由已知$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$，从而得出AE：EF=2：1，根据$\frac{AE}{EF}=\frac{AO}{OD}$，即可得出答案；
（2）过D作DF∥BE，根据平行线分线段成比例定理，可得出AO：AD=AE：AF，由已知$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}、\frac{1}{4}$，从而得出AE：EF的值，根据$\frac{AE}{EF}=\frac{AO}{OD}$，即可得出答案，
（3）过D作DF∥BE，根据平行线分线段成比例定理，可得出AO：AD=AE：AF，由已知$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{n+1}$，从而得出AE：EF=2：n，根据$\frac{AE}{EF}=\frac{AO}{OD}$，即可得出答案

解答 解：过D作DF∥BE，
∴AO：AD=AE：AF，
∵D为BC边的中点，
∴CF=EF=$\frac{1}{2}$EC，
（1）∵$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$
∴$\frac{AO}{AD}$=$\frac{2}{3}$，
（2）①∵$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AE}{AE+2EF}$=$\frac{1}{3}$，
∴2AE=2EF，
∴$\frac{AE}{EF}$=1，
∴$\frac{AO}{OD}=\frac{AE}{EF}$=1，
∴$\frac{AO}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
②∵$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{AE}{AE+2EF}$=$\frac{1}{4}$，
∴3AE=2EF，
∴$\frac{AE}{EF}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AO}{OD}=\frac{AE}{EF}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AO}{AD}$=$\frac{2}{5}$，
（3）∵$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{n+1}$，
即AE：（AE+2EF）=1：（1+n），
∴AE+2EF=AE+AEn，
∴AEn=2EF，
∴AE：EF=2：n．
∵$\frac{AE}{EF}=\frac{AO}{OD}$=$\frac{2}{n}$，
∴$\frac{AO}{AD}$=$\frac{2}{n+2}$．

点评 本题考查了平行线分线段成比例定理，本题辅助线的作法是解题的关键．