Question

【题目】在△ACD中，CD＝1，AC＝3．以AD为直径作⊙O，点C恰在圆上，点B为射线CD上一点，连接BA交⊙O于点E，连接CE交AD于点G，过点A作AF∥CD交DE的延长线于点F．

（1）若∠DAE＝30°，求DE的长；

（2）求证：△AEC∽△FAD；

（3）当△GEA∽△FAD时，求DF的长．

Answer 1

【答案】（1）DE＝；（2）见解析；（3）DF＝．

【解析】

（1）先利用勾股定理求出AD，再用锐角三角函数即可得出结论；

（2）利用AF∥CD，得出∠ADC=∠FAD，进而得出∠AEC=∠FAD，即可得出结论；

（3）先用相似判断出∠EAG=∠ADF=45°，进而求出AE=，再判断出∠ACE=∠DCE，进而得出△AGH∽△DGC，求出AG，即可得出结论．

解（1）：∵点C以AD为直径的圆上，

∴∠ACD＝90°，

根据勾股定理得，AD＝＝＝，

∵点E以AD为直径的圆上，

∴∠AED＝90°，

在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，

∴sin∠DAE＝，

∴DE＝ADsin∠DAE＝×sin30°＝；

（2）∵AF∥CD，

∴∠ADC＝∠FAD，

∵∠ADC＝∠AEC，

∴∠AEC＝∠FAD，

∵∠ACE＝∠ADF，

∴△AEC∽△FAD；

（3）如图，

∵△GEA∽△FAD，

∴∠EAG＝∠ADF，

∵∠AED＝90°，

∴∠EAG＝∠ADF＝45°，

∴AE＝AD＝×＝，

∵∠EAG＝∠ADF，∠DCE＝∠DAE，

∴∠DCE＝∠ADE，

∵∠ADE＝∠ACE，

∴∠ACE＝∠DCE，

延长CE交AF的延长线于H，

∵AF∥CD，

∴∠H＝∠DCE，

∴∠H＝∠ACE，

∴AH＝AC＝3，

∵AF∥CD，

∴△AGH∽△DGC，

∴，

∴，

∴，

∴AG＝，

∵△GEA∽△FAD，

∴，

∴，

∴DF＝．