Question

如图，在四边形ABCD中，∠ACB=90°，AC=BC．过点B作BE∥AD，交CD于点E，在CD上截取DF=CE，如果∠1=∠2．
（1）求证：AF=AC；
（2）若∠ABE=30°，求证：AE平分∠BAD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）由全等三角形的判定定理AAS证得△BEC≌△ADF，则全等三角形的对应边相等，即AF=BC；结合已知条件，利用等量代换证得结论；
（2）根据等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求得．

解答：
证明：（1）如图，∵BE∥AD，
∴∠3=∠4，
在△BEC与△ADF中，

∠2=∠1 ∠3=∠4 CE=FD

，
∴△BEC≌△ADF（AAS），
∴BC=AF，
∵AC=BC，
∴AF=AC；

（2）如图：∵△BEC≌△ADF，
∴AD=BE，
∵AD∥BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠D=∠BAE=30°，AB=ED，
∵CE=DF，
∴CF=DE，
∴AB=CF，
∴四边形ABCF是平行四边形，
∴AF∥BC，
∴∠CAF=∠ACB=90°，
∵AF=AC，
∴△CAF是等腰直角三角形，
作AG⊥CD于G，
在RT△CAF中，AG⊥CD，
∴AG平分CF，
∴AG=

1

2

CF，
在RT△AGD中，∠D=30°，
∴AG=

1

2

AD，
∴AD=CF，
∵CF=DE，
∴AD=DE，
∵四边形ABED是平行四边形，
∴?ABED是菱形，
∴∠BAE=∠DAE，
即AE平分∠BAD．

点评：本题考查了全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定，以及直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．