Question

【题目】在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点，例如，点（1，1），（﹣ 2，﹣ 2），（，），…，都是梦之点，显然梦之点有无数个．

（1）若点 P（2，b）是反比例函数 (n 为常数，n ≠ 0) 的图象上的梦之点，求这个反比例函数解析式；

（2）⊙O 的半径是 ，

①求出⊙O上的所有梦之点的坐标；

②已知点 M（m，3），点 Q 是（1）中反比例函数 图象上异于点 P 的梦之点，过点Q 的直线 l 与 y 轴交于点 A，∠OAQ＝45°．若在⊙ O 上存在一点 N，使得直线 MN ∥ l或 MN ⊥ l，求出 m 的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①⊙O上所有梦之点坐标是（1，1）或（-1，-1）；②m的取值范围为-5≤m≤-1或1≤m≤5．

【解析】

（1）由梦之点的定义可求得P点坐标，再利用待定系数法可求得反比例函数解析式；（2）①设⊙O上的梦之点坐标为（a，a），由圆的半径，根据勾股定理可得到关于a的方程，可求得a的值，则可得梦之点的坐标；②分两种情况进行讨论：当MN为y=-x+b时，m=b-3，当直线MN平移至与⊙O相切时，且切点在第三象限时，b取得最小值，当直线MN平移至与⊙O相切时，且切点在第一象限时，b取得最大值，据此可得m的取值范围为-5≤m≤-1；当直线MN为y=x+b时，同理可得，m的取值范围为1≤m≤5．

（1） ∵P（2，b）是梦之点，∴b=2

∴P（2，2）

将P（2，2） 代入 中得n=4

∴反比例函数解析式是

（2）①设⊙O上梦之点坐标是（，）∴∴

=1或=-1

∴⊙O上所有梦之点坐标是（1，1）或（-1，-1）

②由（1）知，异于点P的梦之点Q的坐标为（-2，-2）

由已知MN∥l或MN⊥l

∴直线MN为y=-x+b或y=x+b

当MN为y=-x+b时，m=b-3

由图可知，当直线MN平移至与⊙O相切时，

且切点在第四象限时，b取得最小值，

此时MN 记为 ，

其中 为切点，为直线与y轴的交点

∵△O 为等要直角三角形，

∴O= ∴O=2

∴b的最小值是-2，

∴m的最小值是-5

当直线MN平移至与⊙O相切时，且切点在第二象限时，

b取得最大值，此时MN 记为 ，

其中 为切点，为直线与y轴的交点。

同理可得，b的最大值为2，m的最大值为-1．

∴m的取值范围为-5≤m≤-1．

当直线MN为y=x+b时，

同理可得，m的取值范围为1≤m≤5，

综上所述，m的取值范围为-5≤m≤-1或1≤m≤5．