Question

已知x，y是两个有理数，其倒数的和、差、积、商的四个结果中，有三个是相等的，
（1）填空：x与y的和的倒数是

 

；
（2）说明理由．

Answer 1

分析：先由倒数的定义可知倒数和不等于倒数差，必然是和或差中的其中一个结果与倒数积、倒数商相等，再分倒数和与积、商相等；倒数差与积、商相等两种情况讨论求解．

解答：解：倒数和为

1

x

+

1

y

，倒数差为

1

x

-

1

y

，倒数积为

1

xy

，倒数商为

y

x

，
x，y有倒数，所以x，y不等于0，
所以其倒数和不等于倒数差，
所以必然是和或差中的其中一个结果与倒数积、倒数商相等，
所以

1

xy

=

y

x

，
y=1或-1．
如果是倒数和与积、商相等，则

1

x

+

1

y

=

1

xy

，x=1-y，当y=1时，x=0不可取，所以y=-1，x=2；
如果是倒数差与积、商相等，则

1

x

-

1

y

=

1

xy

，x=y-1，当y=1时，x=0不可取，所以y=-1，x=-2．
所以y=-1，x=2或-2，
则

1

x+y

=1或-

1

3

．
故答案为：1或-

1

3

．

点评：考查了有理数的混合运算，得出倒数和不等于倒数差是解题的关键，同时注意分类思想的运用，有一定的难度．