Question

已知，在平面直角坐标系中，反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象与一次函数y=x+b的图象交于A（-1，b-1）、B（-5，b-5）两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）设抛物线y=-x²+b′x+c（c＞0）的顶点P在直线AB上，且PA：PB=1：3，求抛物线的解析式；
（3）把以上函数图象同步向右平移，使直线AB与两坐标轴所围成的三角形的面积等于2，求平移后的抛物线的解析式．

Answer 1

（1）把A（-1，b-1）、B（-5，b-5）两点代入y=

k

x

，得：

b-1=-k b-5=- k 5

，
解得：

k=-5 b=6

，
∴正比例函数解析式为：y=x+6，
反比例函数反比例函数解析式为：y=-

5

x

；

（2）∵直线AB为y=x+6，且A（-1，5），B（-5，1），
过点A，B分别作y轴、x轴的平行线，它们相交于点C（-1，1），
则AC=BC=4，
①P点在线段AB上时，作PE∥BC，交AC于E，作PD∥AC交BC于D，
则

PE

BC

=

PA

AB

，

PD

AC

=

PB

AB

，
∵

PA

PB

=

1

3

，
∴

PA

AB

=

1

4

，

PB

AB

=

3

4

，
∴PE=1，PD=3，
∴P（-2，4），
∴抛物线的解析式为：y=-（x-1） ²+4，
即y=-x ²-4x，
此时，c=0，不符合题意，舍去；
②当P点在线段BA的延长线上时，同理可得：P（1，7）
∴抛物线的解析式为：y=-（x-1） ²+7，
即y=-x ²+2x+6，
此时，c=6＞0，符合题意，
∴由①、②可知，抛物线的解析式为：y=-x ²+2x+6；

（3）设平移后的直线解析式为：y=x+t，
它交x轴于点（-t，0），交y轴于点（0，t），
∴S_△=

1

2

×|-t|×|t|=2，
∴t=±2，
∴平移后的直线解析式为：y=x+2或y=x-2，
即图象向右平移了4个单位或8个单位，
此时的抛物线解析式为：y=-（x-1-4）²+7或y=-（x-1-8）²+7，
即y=-x ²+10x-18或y=-x ²+18x-74．