Question

如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于P点，E、F分别是、的中点，连接EF分别交AB、CD于M、N．

(1)求证：△PMN是等腰三角形；(2)若弦AB、CD的延长线交于P点，其他条件不变，(1)的结论是否成立？请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)连接OE、OF，因为E、F是、的中点，所以OE⊥AB，OF⊥CD，又∠E＝∠F，∴∠EMA＝∠FNC，则∠PMN＝∠PNM，PM＝PN． 　　(2)可参考下面例题解析． 　　如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD和AB的延长线交于P点，OF⊥AB交⊙O于F点，E是的中点，连接EF交AP于M，交CP于N．求证：PM＝PN． 　　证明：连接OE交CD于H． 　　∵E是的中点，∴OE⊥CD，则∠EHN＝． 　　又OE＝OF，∴∠E＝∠F． 　　且∠FOM＝，∴∠FMO＝∠HNE． 　　又∠FMO＝∠PMN，∠HNE＝∠PNM， 　　即∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN． 　　分析：要证PM＝PN，可以去证∠PMN＝∠PNM． 　　而∠PMN＝∠FMO，由条件E是的中点，连接OE，可知OE⊥CD，设垂足为H，并且OE＝OF，∠E＝∠F，则可知∠HNE＝∠OMF，从而可证得∠PMN＝∠PNM．