Question

15．已知$x+\frac{1}{x}=3$，那么${x^2}+\frac{1}{x^2}$=7，${x^4}+\frac{1}{x^4}$=47．

Answer 1

分析 根据完全平方公式得出x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x+$\frac{1}{x}$）²-2•x•$\frac{1}{x}$，代入求出即可；
根据完全平方公式得出x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$=（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$）²-2•x²•$\frac{1}{{x}^{2}}$，代入求出即可．

解答 解：∵x+$\frac{1}{x}$=3，
∴x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x+$\frac{1}{x}$）²-2•x•$\frac{1}{x}$=3²-2=7，
∴x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$=（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$）²-2•x²•$\frac{1}{{x}^{2}}$=49-2=47，
故答案为：7，47．

点评 本题考查了完全平方公式的应用，能正确运用公式展开是解此题的关键，注意：完全平方公式为：（a+b）²=a²+2ab+b²和（a-b）²=a²-2ab+b²，此题是基础题目，难度不大．