Question

1．如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P从点O沿边OA向点A运动，每秒运动1个单位．连结CP，过点P作PE⊥CP交AB于点D，且PE=PC，过点E作EF∥OA，交OB于点F，连结FD、BE，设点P运动的时间为t（0＜t＜4）．
（1）点E的坐标为（4+t，t）（用含t的代数式表示）；
（2）试判断线段EF的长度是否随点P的运动变化而改变？并说明理由；
（3）当t为何值时，四边形BEDF的面积为$\frac{13}{2}$．

Answer 1

分析 （1）作EH⊥x轴于H，则∠EHP=90°，先证出∠PEH=∠CPO，再证明△EPH≌△PCO，得出HE=PO=t，HP=OC=4，求出OH，即可得出点E的坐标；
（2）根据EF∥OA，EH=t，可得点F到x轴的距离等于t，再根据∠AOB=45°，可得点F的坐标为（t，t），最后根据点E为（4+t，t），求得EF=t+4-t=4即可；
（3）先判定△DAP∽△POC，得出$\frac{AD}{OP}$=$\frac{AP}{OC}$，根据OP=t，OC=4，AP=4-t，求得AD=$\frac{t（4-t）}{4}$，BD=4-$\frac{t（4-t）}{4}$=$\frac{{t}^{2}-4t+16}{4}$，再根据S_{四边形BEDF}=$\frac{1}{2}$×EF×BD，列出关于t的方程，求得t的值即可．

解答 解：（1）如图，过点E作EH⊥OA，垂足为H，则∠EHP=90°=∠POC，HE∥AB，
∴∠HPE+∠PEH=90°，
∵PE⊥CP，
∴∠CPE=90°，
∴∠HPE+∠CPO=90°，
∴∠PEH=∠CPO，
在△EPH和△PCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EHP=∠POC}\\{∠PEH=∠CPO}\\{PE=CP}\end{array}\right.$，
∴△EPH≌△PCO（AAS），
∴EH=PO=t，HP=OC=4，
∴OH=t+4，
∴点E的坐标为（4+t，t）；

（2）线段EF的长度不变．
理由如下：
由题意知：OA=AB=4，
∴点B坐标为（4，4），∠BOA=45°，
又∵EF∥OA，点E为（4+t，t），
∴点F的坐标为（t，t）
∴EF=t+4-t=4，
即线段EF的长度不变，是定值4；

（3）由（1）知：∠PDA=∠PEH=∠CPO，
又∵∠DAP=∠POC=90°，
∴△DAP∽△POC，
∴$\frac{AD}{OP}$=$\frac{AP}{OC}$，
∵OP=t，OC=4，
∴AP=4-t，
∴$\frac{AD}{t}$=$\frac{4-t}{4}$，
∴AD=$\frac{t（4-t）}{4}$，
∴BD=4-$\frac{t（4-t）}{4}$=$\frac{{t}^{2}-4t+16}{4}$，
∵EF∥OA，AB⊥OA，
∴EF⊥BD，
∵S_{四边形BEDF}=$\frac{1}{2}$×EF×BD，
∴$\frac{1}{2}$×4×$\frac{{t}^{2}-4t+16}{4}$=$\frac{13}{2}$，
解得t=1或t=3，
∴当t为1或3秒时，四边形BEDF的面积为$\frac{13}{2}$．

点评 本题是四边形综合题目，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、四边形面积的计算等知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意方程思想的运用，以及对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半的运用．