Question

23、如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点P到x轴的距离是9，抛物线与x轴交于O、M两点，OM=6；矩形ABCD的边BC在线段OM上，点A、D在抛物线上．
（1）P点的坐标

（3，9）

、M点的坐标

（0，6）

；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设矩形ABCD的周长为l，C（x，0），求l与x的关系式，并求l的最大值．

Answer 1

分析：（1）由抛物线的顶点P到x轴的距离是9与抛物线过点O与M，OM=6，即可求得点P与M的坐标；
（2）设此抛物线的解析式为y=a（x-3）²+9，又由此函数过原点，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（3）由点C的坐标，根据抛物线对称性与矩形的性质，即可求得点D与B的坐标，则可求得CD与BC的长，则问题得解．

解答：解：（1）∵抛物线的顶点P到x轴的距离是9，
∴点P的纵坐标为9，
∵抛物线过点O与M，OM=6，
∴此抛物线的对称轴为x=3，
∴P（3，9），M（0，6）；
故答案为：（3，9），（0，6）；

（2）设此抛物线的解析式为y=a（x-3）²+9，
∵此函数过原点，
∴a（0-3）²+9=0，
∴a=-1，
∴此抛物线的解析式为：y=-（x-3）²+9或y=-x²+6x；

（3）∵C（x，0），
∴点D的坐标为（x，y），
∴y=-x²+6x，
∴点D的坐标为（x，-x²+6x），
点B的坐标为：（6-x，0）
∴BC=6-2x，CD=-x²+6x，
∴l=2（6-2x）+2（-x²+6x）=-2x²+8x+12=-2（x-2）²+20，
∴l与x的关系式为：l=-2（x-2）²+20，
当x=2时，最大值为20．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，抛物线的对称性等知识．此题综合性很强，注意数形结合与方程思想的应用．