Question

18．如图，点A（3，2）和点M（m，n）都在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上．
（1）求k的值，并求当m=4时，直线AM的解析式；
（2）过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，直线AM交x轴于点Q，试说明四边形ABPQ是平行四边形；
（3）在（2）的条件下，四边形ABPQ能否为菱形？若能，请求出m的值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，把m=4代入反比例解析式求出n的值，确定出M坐标，设直线AM解析式为y=kx+b，把A与M代入求出k与b的值，即可确定出直线AM解析式；
（2）根据题意表示出直线BP与AM解析式，得出两直线斜率相等，进而确定出AM与BP平行，再由AB与PQ平行，利用两对对应边平行的四边形为平行四边形即可得证；
（3）在（2）的条件下，四边形ABPQ能为菱形，若四边形ABPQ为菱形，则有AB=BP=3，根据B与P坐标列出关于m的方程，求出方程的解即可得到这样的菱形存在．

解答 解：（1）把A（3，2）代入得：k=6，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{6}{x}$；
把m=4代入反比例解析式得：n=$\frac{6}{4}$=1.5，
∴M（4，1.5），
设直线AM的解析式为：y=kx+b；
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=2}\\{4k+b=1.5}\end{array}\right.$，
解得：k=-0.5，b=3.5，
∴直线AM的解析式为：y=-0.5x+3.5；
（2）根据题意得：P（m，0），M（m，$\frac{6}{m}$），B（0，2），
设直线BP的解析式为：y=kx+b，
把点B（0，2），P（m，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{mk+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{2}{m}$；
设直线AM的解析式为：y=ax+c，
把点A（3，2），M（m，$\frac{6}{m}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=2}\\{am+c=\frac{6}{m}}\end{array}\right.$，
解得a=-$\frac{2}{m}$，
∵k=a=-$\frac{2}{m}$，
∴直线BP与直线AM的位置关系是BP∥AM，
∵AB∥PQ，
∴四边形ABPQ是平行四边形；
（3）在（2）的条件下，四边形ABPQ能为菱形，理由为：
若四边形ABPQ为菱形，则有AB=BP=3，
∴m²+2²=9，即m²=5，
此时m=$\sqrt{5}$，
则在（2）的条件下，四边形ABPQ能为菱形．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求反比例解析式，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形、菱形的判定，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．