解:(1)将点C(2,2)代入直线y=kx+4,可得k=-1
所以直线的解析式为y=-x+4
当x=1时,y=3,
所以B点的坐标为(1,3)
将B、C、O三点的坐标分别代入抛物线y=ax
2+bx+c,
可得
解得
,
所以所求的抛物线为y=-2x
2+5x.
(2)因为ON的长是一定值,
所以当点P为抛物线的顶点时,△PON的面积最大,
又该抛物线的顶点坐标为(
),此时tan∠PON=
.
(3)存在;
把x=0代入直线y=-x+4得y=4,所以点A(0,4)
把y=0代入抛物线y=-2x
2+5x
得x=0或x=
,所以点N(
,0)
设动点P坐标为(x,y),
其中y=-2x
2+5x (0<x<
)
则得:S
△OAP=
|OA|•x=2x
S
△ONP=
|ON|•y=
•(-2x
2+5x)=
(-2x
2+5x)
由S
△OAP=
S
△ONP,
即2x=
•
(-2x
2+5x)
解得x=0或x=1,舍去x=0
得x=1,由此得y=3
所以得点P存在,其坐标为(1,3).
分析:(1)根据C点的坐标可确定直线AD的解析式,进而可求出B点坐标,将B、C、O三点坐标代入抛物线中,即可求得此二次函数的解析式;
(2)此题的关键是求出P点的坐标;△PON中,ON的长为定值,若△PON的面积最大,那么P点离ON的距离最远,即P点为抛物线的顶点,根据(1)所得的抛物线解析式即可求得P点的坐标,进而可求出α的正切值;
(3)设出点P的横坐标,根据抛物线的解析式可表示出P点的纵坐标;根据直线AD和抛物线的解析式可求出A、N的坐标;以ON为底,P点纵坐标为高可得到△OPN的面积,以OA为底,P点横坐标为高可得到△OAP的面积,根据题目给出的△POA和△PON的面积关系即可求出P点的横坐标,进而可求出P点的坐标.
点评:此题考查了一次函数与二次函数解析式的确定、函数图象与坐标轴交点坐标的求法、图形面积的求法等知识,主要考查学生数形结合的数学思想方法.