分析 (1)解方程即可得到结论;
(2)根据相似三角形的性质列比例式即可得到结论;
(3)求得直线AM的解析式为y=-mx+m,直线BC的解析式为y=-mx+2m,根据直线的斜率相等,于是得到结论.
解答 解:(1)令y=0,则mx2-4mx+3m=0,
∴x1=1,x2=3,
∴A(1,0),B(3,0);
(2)存在,
理由:由题意得,∠AOC=∠MNA=90°,
∵y=mx2-4mx+3m=m(x2-4x+3)=m(x-2)2-m,
∴M(2,-m),C(0,3m),N(2,0),
∴OA=1,AN=1,MN=|-m|,OC=|3m|,
①当△AOC∽△ANM时,即$\frac{AO}{AN}=\frac{OC}{NM}$,∴$\frac{1}{1}$=$\frac{|-m|}{|3m|}$,
此方程无解,
②当△AOC∽△MNA时,即$\frac{AO}{MN}=\frac{OC}{NA}$,∴$\frac{1}{|-m|}=\frac{|3m|}{1}$,
解得m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴存在m值,使得△OAC与△AMN相似;
(3)设直线AM的解析式为y=kx+b,
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=k+b}\\{-m=2k+b}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-m}\\{b=m}\end{array}\right.$,
∴直线AM的解析式为y=-mx+m,
设直线BC的解析式为y=ax+c,
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=3a+c}\\{3m=c}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-m}\\{c=3m}\end{array}\right.$,
∴直线BC的解析式为y=-mx+2m,
∴两直线的斜率相等,
∴AM∥CB.
点评 本题主要考查了二次函数的综合题,相似三角形的性质,解题的关键是善于将函数问题转化为方程问题,善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解.
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