Question

【题目】图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2、当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开、已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米、设AP=x分米．

（1）求x的取值范围；

（2）若∠CPN=60°，求x的值；

（3）设阳光直射下，伞下的阴影（假定为圆面）面积为y，求y关于x的关系式（结果保留π）．

Answer 1

【答案】（1）0≤x≤10；（2）x=6；（3）y=﹣πx2+54πx．

【解析】

（1）根据题意，得AC=CN+PN，进一步求得AB的长，即可求得x的取值范围；

（2）根据等边三角形的判定和性质即可求解；

（3）连接MN、EF，分别交AC于B、H．此题根据菱形CMPN的性质求得MB的长，再根据相似三角形的对应边的比相等，求得圆的半径即可．

（1）∵BC=2分米，AC=CN+PN=12分米，

∴AB=AC﹣BC=10分米，

∴x的取值范围是：0≤x≤10；

（2）∵CN=PN，∠CPN=60°，

∴△PCN是等边三角形，

∴CP=6分米，

∴AP=AC﹣PC=6分米，

即当∠CPN=60°时，x=6；

（3）连接MN、EF，分别交AC于B、H，

∵PM=PN=CM=CN，

∴四边形PNCM是菱形，

∴MN与PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分线，

PB==6-，

在Rt△MBP中，PM=6分米，

∴MB2=PM2﹣PB2=62﹣（6﹣x）2=6x﹣x2．

∵CE=CF，AC是∠ECF的平分线，

∴EH=HF，EF⊥AC，

∵∠ECH=∠MCB，∠EHC=∠MBC=90°，

∴△CMB∽△CEH，

∴=，

∴，

∴EH2=9MB2=9（6x﹣x2），

∴y=πEH2=9π（6x﹣x2），

即y=﹣πx2+54πx．