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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么
    （1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式；
    （2）当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由；
    （3）当t为何值时，△POQ与△AOB相似．
    分析：（1）根据P、Q的速度，用时间t表示出OQ和OP的长，即可通过三角形的面积公式得出y，t的函数关系式；
    （2）先根据（1）的函数式求出y最大时，x的值，即可得出OQ和OP的长，然后求出C点的坐标和直线AB的解析式，将C点坐标代入直线AB的解析式中即可判断出C是否在AB上；
    （3）本题要分△OPQ∽△OAB和△OPQ∽△OBA两种情况进行求解，可根据各自得出的对应成比例相等求出t的值．
    解答：解：（1）∵OA=12，OB=6，由题意，得BQ=1×t=t，OP=1×t=t．
    ∴OQ=6-t．
    ∴y=
    1
    2
    ×OP×OQ=
    1
    2
    ×t（6-t）=-
    1
    2
    t2+3t（0≤t≤6）；

    （2）∵y=-
    1
    2
    t2+3t，
    ∴当y有最大值时，t=3
    ∴OQ=3，OP=3，即△POQ是等腰直角三角形．
    把△POQ沿直线PQ翻折后，可得四边形OPCQ是正方形．
    ∴点C的坐标为（3，3）．
    ∵A（12，0），B（0，6），
    ∴直线AB的解析式为y=-
    1
    2
    x+6
    当x=3时，y=
    9
    2
    ≠3，
    ∴点C不落在直线AB上；
    （3）
    ①若△POQ∽△AOB时，
    OQ
    OB
    =
    OP
    OA
    ，即
    6-t
    6
    =
    t
    12
    ，12-2t=t，∴t=4．
    ②若△POQ∽△BOA时，
    OQ
    OA
    =
    OP
    OB
    ，即
    6-t
    12
    =
    t
    6
    ，6-t=2t，∴t=2．
    ∵0≤t≤6，
    ∴t=4和t=2均符合题意，
    ∴当t=4或t=2时，△POQ与△AOB相似．
    点评：本题主要考查了直角三角形的性质、图形的翻折变换、相似三角形的判定和性质等知识点．要注意（3）题要根据不同的相似三角形分类进行讨论．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
    29
    ．

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    5
    5
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    k
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    k
    x
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    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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