Question

根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，回答下面几个问题：

（1）第5个图中有

21

个点．
（2）猜测第10个图中有

91

个点．
（3）第n个图中有

[1+（n-1）×n]

个点．（用n的代数式表示）
（4）有没有一个图形的点数为2013？如果有，请求出是第几个图形；如果没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接第5个图形中的点即可；
（2）（3）根据前面几个图形中点的规律得到第n个图中点的个数为1+（n-1）×n；再把n=10代入计算得到第10个图中点的个数；
（4）假如有，则1+（n-1）×n=2013，然后通过解方程，判断方程有没有正整数根来判断有没有一个图形的点数为2013．

解答：解：（1）第5个图中有21个点；
（2）∵第1个图中点的个数为1，
第2个图中点的个数为1+1×2=3，
第3个图中点的个数为1+2×3=7，
第4个图中点的个数为1+3×4=7，
∴第10个图中点的个数为1+9×10=91；
（3）第n个图中点的个数为1+（n-1）×n；
（4）没有．理由如下：
1+（n-1）×n=2013，
整理得n²-n-2012=0，
△=1+4×2012=8049，
∵△不是完全平方数，
∴n不为正整数，
∴没有一个图形的点数为2013．
故答案为21，91，[1+（n-1）×n]．

点评：本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．