Question

6．如图，长方形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（$\sqrt{3}$，1）点D是AB边上一个动点（与点A不重合），沿OD将△OAD对折后，点A落到点P处，并满足△PCB是等腰三角形，则P点坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）或（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 连接PB，PC．分三种情况：①若PB=PC，设P（x，$\frac{1}{2}$），过P作PH⊥x轴于H．在Rt△OPH中根据勾股定理解得x，从而确定P点坐标；②若BP=BC，则BP=1，连接OB．在Rt△OBC中根据勾股定理求出OB，从而得出P为线段OB中点，求出P点坐标；③若CP=CB，则CP=1，PO=PC，P在OC中垂线上．设P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，y），过P作PH⊥x轴于H，在Rt△OPH中根据勾股定理求出P点坐标即可．

解答 解：连接PB，PC，
①若PB=PC，则P在BC的中垂线y=$\frac{1}{2}$上，
∴设P（x，$\frac{1}{2}$），
如图，过P作PH⊥x轴于H，
在Rt△OPH中，PH=$\frac{1}{2}$，OH=x，OP=1，
∴x²+$\frac{1}{4}$=1，
解得：x₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x₂=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（不合题意），
∴P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
②若BP=BC，则BP=1，连接OB，
∵OP=1，
∴OP+PB=2，
∵在Rt△OBC中，∠OCB=90°，OB=$\sqrt{3+1}$=2，
∴OP+PB=OB，
∴O，P，B三点共线，P为线段OB中点．
又∵B（$\sqrt{3}$，1），
∴P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
③若CP=CB，则CP=1，
∵OP=1，
∴PO=PC，则P在OC的中垂线x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$上，
∴设P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，y）．
过P作PH⊥x轴于H，在Rt△OPH中，PH=|y|，OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OP=1，
∴y²+$\frac{3}{4}$=1，
解得：y₁=$\frac{1}{2}$，y₂=-$\frac{1}{2}$，
∴P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）或（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
当点P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）时，∠AOP=120°，此时∠AOD=60°，点D与点B重合，符合题意．
故答案为：（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）或（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题是折叠问题，主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用分类思想进行分类讨论．