Question

已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x²﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．
（1）求k的取值范围；
（2）若x₁，x₂是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x₁²+2kx₂+k+2=4x₁x₂．
①求k的值；
②当k≦x≦k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值．

Answer 1

（1）当k=1时，函数为一次函数y=﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点．
当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，
令y=0得（k﹣1）x²﹣2kx+k+2=0．
△=（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≧0，解得k≦2．即k≦2且k=1．
综上所述，k的取值范围是k≦2．
（2）①∵x₁≠x₂，由（1）知k＜2且k=1．
由题意得（k﹣1）x₁²+（k+2）=2kx₁．（*）
将（*）代入（k﹣1）x₁²+2kx²+k+2=4x₁x²中得：2k（x₁+x₂）=4x₁x₂．
又∵x₁+x₂=，x₁x₂=，∴2k=4．
解得：k1=﹣1，k2=2（不合题意，舍去）．∴所求k值为﹣1．
②如图，∵k₁=﹣1，y=﹣2x²+2x+1=﹣2（x﹣）²+．且﹣1≦x≦1．
由图象知：当x=﹣1时，y最小=﹣3；当x=时，y最大=．
∴y的最大值为，最小值为﹣3