Question

4．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AQ，连接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，则三角形PBQ的面积为（　　）

• A． 12
• B． 40
• C． 30
• D． 24

Answer 1

分析 连接PQ，如图，先利用旋转的性质得到AP=AQ=6，∠PAQ=60°，则可判断△APQ为等边三角形，所以PA=AP=6，再利用△ABC为等边三角形得到AB=AC，∠BAC=60°，则根据旋转的定义可判断△APC绕点A顺时针旋转60°得到△AQB，所以BQ=PC=10，然后根据勾股定理的逆定理可证明△PBQ为直角三角形，∠BPQ=90°，最后利用三角形面积公式求解．

解答 解：连接PQ，如图，
∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AQ，
∴AP=AQ=6，∠PAQ=60°，
∴△APQ为等边三角形，
∴PA=AP=6，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴△APC绕点A顺时针旋转60°得到△AQB，
∴BQ=PC=10，
在△BPQ中，∵PB=8，PQ=6，BQ=10，
∴PB²+PQ²=BQ²，
∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ=90°，
∴三角形PBQ的面积=$\frac{1}{2}$×6×8=24．
故选D．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和勾股定理的逆定理．