Question

1．在四边形ABCD中，点E在CD的延长线上，CE=BD，连接AE，∠ABD的平分线与AE相交于点F．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，求∠AFB的度数；
（2）如图2，当四边形ABCD为平行四边形时，延长BF，CE，它们相交于点K，求证：BF=KF．

Answer 1

分析 （1）先连接AC，根据正方形的性质以及等腰三角形的性质，求得∠BAE=112.5°，∠ABF═22.5°，再根据三角形内角和定理，求得∠AFB的度数；
（2）先根据平行四边形的性质以及角平分线，得出∠ABF=∠K，AB=EK，进而判定△ABF≌△EKF（AAS），最后得出全等三角形的对应边相等．

解答 解：（1）连接AC，
在正方形ABCD中，AC=BD，∠ACD=∠BAC=∠ABD=45°，
∵BD=CE，
∴AC=CE，
∴等腰三角形ACE中，∠CAE=（180°-45°）÷2=67.5°，
∴∠BAF=∠BAC+∠CAF=45°+67.5°=112.5°，
∵BF平分∠ABD，
∴∠ABF=22.5°，
∴△ABF中，∠AFB=180°-112.5°-22.5°=45°．

（2）当四边形ABCD为平行四边形时，AB∥CD，
∴∠ABF=∠K，
∵BF平分∠ABD，
∴∠ABF=∠DBF，
∴∠K=∠DBF，
∴BD=DK，
又∵CE=BD，
∴CE=DK，
∴KE=CD，
又∵平行四边形ABCD中，CD=AB，
∴AB=EK，
由∠AFB=∠EFK，∠ABF=∠K，AB=EK，可得△ABF≌△EKF（AAS），
∴BF=KF．

点评 本题主要考查了正方形的性质以及平行四边形的性质，解题时需要根据角的和差关系进行计算求得角度，并运用全等三角形的性质，得出线段相等．