Question

【题目】如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AC与BD交于点E，且AE=AB．

（1）DA=DB，求证：AB=CB；

（2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转30°得到△FGC，点A经过的路径为，若AC=4，求图中阴影部分面积S；

（3）在（2）的条件下，连接FB，求证：FB为⊙O的切线．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）欲证明AB=BC，只要证明∠BAC=∠ACB即可；

（2）设AB的延长线交FG于M，连接CM，在BC上取一点N，使得CN=NM．证明Rt△CBM≌Rt△CGM，可得∠NCM=∠NMC=15°，从而∠MNB=30°，设BM=a，则MN=CN=2a，BN=a，由2a+a=2，可求出BM的长，然后根据三角形面积公式计算即可；

（3）连接OB、BF、作FH⊥AC于H．只要证明四边形OBFH是矩形即可解决问题；

（1）证明：如图1中，

∵DA=DB，

∴∠DAB=∠DBA，

∵AE=AB，

∴∠AEB=∠ABE，

∴∠AEB=∠DAB，

∴∠EAD+∠ADE=∠EAD+∠EAB，

∴∠EAB=∠ADE，

∵∠ADE=∠ACB，

∴∠EAB=∠ACB，

∴AB=BC．

（2）如图2中，设AB的延长线交FG于M，连接CM，在BC上取一点N，使得CN=NM．

∵△ABC是等腰直角三角形，AC=4，

∴AB=BC=2，

∵BC=CG，CM=CM，

∴Rt△CBM≌Rt△CGM，

∴∠MCB=∠MCG=15°，

∵NC=NM，

∴∠NCM=∠NMC=15°，

∴∠MNB=30°，设BM=a，则MN=CN=2a，BN=a，

∴2a+a=2，

∴a=4﹣2，

∴S阴=2××BM×BC=（4﹣2）×=16﹣8．

（3）如图2﹣1中，连接OB、BF、作FH⊥AC于H．

∵∠ACF=30°，∠FHC=90°，

∴FH=CF=AC=OA=OB，

∵BA=BC，OA=OC，

∴BO⊥AC，

∴FH∥OB，

∴四边形OBFH是平行四边形，

∵∠BOH=90°，

∴四边形OBFH是矩形，

∴∠OBF=90°，即OB⊥BF；

∴BF是⊙O的切线．