Question

7．△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D．
（1）如图1，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由；
（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．
①求证：BF∥OD；
②若∠F=40°，求∠BAC的度数．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义得到∠OAC+∠OCA=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC），∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，由三角形的内角和得到∠AOC=90°+∠OBC，∠ODC=90°+∠OBD，于是得到结论；
（2）①由角平分线的性质得到∠EBF=90°-∠DBO，由三角形的内角和得到∠ODB=90°-∠OBD，于是得到结论；②由角平分线的性质得到∠FBE$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACB），∠FCB=$\frac{1}{2}∠$ACB，根据三角形的外角的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∠AOC=∠ODC，
理由：∵三个内角的平分线交于点O，
∴∠OAC+∠OCA=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠BCA）=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC），
∵∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=90°+$\frac{1}{2}$∠ABC=90°+∠OBC，
∵OD⊥OB，
∴∠BOD=90°，
∴∠ODC=90°+∠OBD，
∴∠AOC=∠ODC；

（2）①∵BF平分∠ABE，
∴∠EBF=$\frac{1}{2}$∠ABE=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC）=90°-∠DBO，
∵∠ODB=90°-∠OBD，
∴∠FBE=∠ODB，
∴BF∥OD；
②∵BF平分∠ABE，
∴∠FBE=$\frac{1}{2}∠$ABE=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACB），
∵三个内角的平分线交于点O，
∴∠FCB=$\frac{1}{2}∠$ACB，
∵∠F=∠FBE-∠BCF=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ACB）-$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}∠$BAC，
∵∠F=40°，
∴∠BAC=2∠F=80°．

点评 本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．