Question

18．如图，抛物线y=x²+2ax+3a与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴的负半轴交于点C，顶点为D，且OB=OC．
（1）求点B、D的坐标；
（2）在y轴左侧的抛物线上存在一点E，使得△BEC的面积是△BCD面积的$\frac{27}{8}$倍．
①求直线BE的函数表达式；
②设直线BE交y轴于点M，点P在线段BM上运动，点Q在射线AM上运动，是否存在这样的点P、Q，使得△OPQ为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意C（0，3a），推出OC=-3a，由OB=OC，可得B（-3a，0），把B（-3a，0）代入y=x²+2ax+3a得0=9a²-6a²+3a=0，解得a=-1或0（舍弃），可得抛物线的解析式为y=x²-2x-3=（x-1）²-4，由此即可解决问题．
（2）①如图1中，设E（m，m²-2m-3），作PB⊥OB，PC⊥OC，连接PE，OD．想办法构建方程，求出点E的坐标即可解决问题．
②存在．如图2中，设P（n，-$\frac{1}{2}$n+$\frac{3}{2}$）．作PH⊥OB于H，QE⊥HP于E．由△OPH≌△PQE，可知OH=PE=n，EQ=PH=-$\frac{1}{2}$n+$\frac{3}{2}$，推出Q（$\frac{3}{2}$n-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$n+$\frac{3}{2}$），把点Q坐标代入直线AM的解析式为y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$，解方程即可．

解答 解：（1）由题意C（0，3a），
∴OC=-3a，
∵OB=OC，
∴B（-3a，0），把B（-3a，0）代入y=x²+2ax+3a得0=9a²-6a²+3a=0，解得a=-1或0（舍弃），
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴B（3，0），D（1，-4）．

（2）①如图1中，设E（m，m²-2m-3），作PB⊥OB，PC⊥OC，连接PE，OD．

由（1）可知B（3，0），C（0，-3），P（3，-3），
∴S_△BCD=S_△OCD+S_△OBD-S_△OBC=$\frac{1}{2}$•3•1+$\frac{1}{2}$•3•4-$\frac{1}{2}$•3•3=3，
由题意S_△EBC=3•$\frac{27}{8}$=$\frac{81}{8}$，
∴S_△EPC+S_△EPB-S_△PBC=$\frac{81}{8}$，
∴$\frac{1}{2}$•3•（m²-2m）+$\frac{1}{2}$•3•（3-m）-$\frac{9}{2}$=$\frac{81}{8}$，
整理得4m²-12m-27=0，
解得m=-$\frac{3}{2}$或$\frac{9}{2}$，
∴E（-$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$），
设直线BE的解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{-\frac{3}{2}k+b=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线BE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$．

（3）存在．如图2中，设P（n，-$\frac{1}{2}$n+$\frac{3}{2}$）．作PH⊥OB于H，QE⊥HP于E．

∵A（-1，0），M（0，$\frac{3}{2}$），
∴直线AM的解析式为y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$，
∵△POQ是等腰直角三角形，
∴OP=PQ，∠OPQ=90°，则△OPH≌△PQE，
∴OH=PE=n，EQ=PH=-$\frac{1}{2}$n+$\frac{3}{2}$，
易知Q（$\frac{3}{2}$n-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$n+$\frac{3}{2}$），
把点Q坐标代入直线AM的解析式为y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$，得到$\frac{1}{2}$n+$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$（$\frac{3}{2}$n-$\frac{3}{2}$）+$\frac{3}{2}$，
解得n=$\frac{9}{7}$．
此时点P坐标（$\frac{9}{7}$，$\frac{6}{6}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、三角形的面积、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用此时构建方程解决问题，属于中考压轴题．