Question

【题目】下表中给出了变量x与ax2，ax2+bx+c之间的部分对应值(表格中的符号“…”表示该项数据已经丢失)

x	-1	0	1
ax	…	…	1
ax+ bx + c	7	2	…

（1）写出这条抛物线的开口方向，顶点D的坐标；并说明它的变化情况；

（2）抛物线的顶点为D，与y轴的交点为A，点M是抛物线对称轴上的一点，直线AM交对称轴右侧的抛物线于点B，当△ADM与△BDM的面积比为2：3时，求点B的坐标：

（3）在（2）的条件下，设线段BD交x轴于点C，试写出∠BAD与∠DCO的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1），开口向上，,变化情况见解析；（2）；（3），理由见解析

【解析】

（1）根据（1，1）在抛物线y=ax2上可求出a值，再由（-1，7）、（0，2）在抛物线y=x2+bx+c上可求出b、c的值，即可得到答案；
（2）根据△ADM和△BDM同底可得出两三角形的面积比等于高的比，结合点A的坐标即可求出点B的横坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出点B的坐标；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出A、D的坐标，过点A作AN∥x轴，交BD于点N，则∠AND=∠DCO，根据点B、D的坐标利用待定系数法可求出直线BD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点N的坐标，利用两点间的距离公式可求出BA、BD、BN的长度，由三者间的关系结合∠ABD=∠NBA，可证出△ABD∽△NBA，根据相似三角形的性质可得出∠ANB=∠DAB，再由∠ANB+∠AND=180°可得出∠DAB+∠DCO=180°．

解：（1）当x=1时，y=ax2=1，
解得：a=1；
将（-1，7）、（0，2）代入y=x2+bx+c，得：

，

解得： ，

∴抛物线的表达式为或，
∴该抛物线的开口向上，顶点D（2，-2），

变化情况：在对称轴 的左边y随x的增大而减小，再对称轴的右边y随x的增大而增大；

（2）∵△ADM和△BDM同底，且△ADM与△BDM的面积比为2：3，
∴点A到抛物线的距离与点B到抛物线的距离比为2：3．
∵抛物线的对称轴为直线x=2，点A的横坐标为0，
∴点B到抛物线对称轴的距离为3，
∴点B的横坐标为3+2=5，
∴点B的坐标为（5，7）．

（3）∠BAD+∠DCO=180°，理由如下：
当x=0时，，
∴点A的坐标为（0，2），
∵，
∴点D的坐标为（2，-2）．
过点A作AN∥x轴，交BD于点N，则∠AND=∠DCO，如图所示．

设直线BD的表达式为y=mx+n（m≠0），
将B（5，7）、D（2，-2）代入y=mx+n，

得到： ，

解得： ，

∴直线BD的表达式为y=3x-8．
当y=2时，有3x-8=2，

解得： ，

∵A（0，2），B（5，7），D（2，-2），

∴ ，

∴ ，

又∵∠ABD=∠NBA，
∴△ABD∽△NBA，
∴∠ANB=∠DAB．
∵∠ANB+∠AND=180°，
∴∠DAB+∠DCO=180°．