Question

9．已知：如图，一次函数$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+m$与反比例函数$y=\frac{{\sqrt{3}}}{x}$的图象在第一象限的交点为A（1，n）．
（1）求m与n的值；
（2）设一次函数的图象与x轴交于点B，连结OA，求∠BAO的度数．

Answer 1

分析 （1）把点A（1，n）坐标代入$y=\frac{{\sqrt{3}}}{x}$即可求得n，再把$A（1，\sqrt{3}）$坐标代入$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+m$可求m；
（2）由直线$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，求得点B的坐标为（-2，0），即OB=2，由点A的坐标为$（1，\sqrt{3}）$，由三角函数可求得∠AOM=60°，由勾股定理求得得 OA=2，得到OA=OB，推出∠OBA=∠BAO，于是求得∠BAO=30°，由正弦函数的定义可得结论．

解答 解：（1）∵点A（1，n）在双曲线$y=\frac{{\sqrt{3}}}{x}$上，
∴n=$\sqrt{3}$，
又∵A（1，$\sqrt{3}$）在直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+m上，
∴m=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；

（2）过点A作AM⊥x轴于点M．
∵直线$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$与x轴交于点B，
∴$\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}=0$．
解得 x=-2．
∴点B的坐标为（-2，0）．
∴OB=2，
∵点A的坐标为$（1，\sqrt{3}）$，
∴AM=$\sqrt{3}$，OM=1，
在Rt△AOM中，∠AMO=90°，
∴tan$∠AOM=\frac{AM}{OM}=\sqrt{3}$，
∴∠AOM=60°，
由勾股定理，得 OA=2，
∴OA=OB，
∴∠OBA=∠BAO，
∴∠BAO=$\frac{1}{2}∠$AOM=30°，
∴sin∠BAO=$\frac{1}{2}$，
∴∠BA0=30°．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，三角函数的定义，利用点的坐标得到∠BAO的度数是解决本题的突破点．