Question

1．如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴上，AD=2AB，直线AB的解析式为y=-2x+4，双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过点D，与BC边相交于点E．
（1）填空：k=40
（2）连接AE、DE，试求△ADE的面积；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PCD的周长最小？若存在，求出点P坐标及此时△PCD周长的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意过点D作DH⊥x轴于点H，首先求出A，B点坐标，进而得出△AOB∽△DHA，即可得出D点坐标求出k即可；
（2）利用勾股定理得出AB的长，进而得出AD的长，再利用$\frac{1}{2}$S_矩形BACD=S_△AED求出答案；
（3）利用轴对称求最短路线得出D点关于x轴对称点的性质，进而得出CD′的解析式，进而得出CD′的长，即可得出答案．

解答 解：（1）如图所示：过点D作DH⊥x轴于点H，
∵直线AB的解析式为y=-2x+4，
∴当x=0时，y=4，则OB=4，B点坐标为：（0，4）；
当y=0时，x=2，则OA=2，A点坐标为：（2，0）；
∵∠OAB+∠DAH=90°，∠ADH+∠DAH=90°，
∴∠BAO=∠ADH，
又∵∠BOA=∠AHD，
∴△AOB∽△DHA，
∴$\frac{AO}{DH}$=$\frac{BO}{AH}$=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2}{DH}$=$\frac{4}{AH}$=$\frac{1}{2}$，
解得：DH=4，AH=8，
∴D（10，4），
则k=10×4=40；
故答案为：40；

（2）由（1）得：AO=2，OB=4，则AB=2$\sqrt{5}$，
∵AD=2AB，
∴AD=4$\sqrt{5}$，
∴$\frac{1}{2}$S_矩形BACD=S_△AED=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×4$\sqrt{5}$=20；

（3）如图所示：过点C作CN⊥y轴于点N，作D点关于x轴对称点D′，连接CD′，交x轴于点P，连接DP，
∵∠NBC+∠NCB=90°，
∠NBC+∠OBA=90°，
∴∠NCB=∠OBA，
又∵∠CNB=∠BOA=90°，
∴△CNB∽△BOA，
∴$\frac{CN}{BO}$=$\frac{BN}{AO}$=2，
∴CN=8，BN=4，
∴C点坐标为：（8，8），
∵D（10，4），
∴D′（10，-4），
∴CD′=$\sqrt{1{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{37}$，
设直线CD′的解析式为：y=ax+d
则$\left\{\begin{array}{l}{10a+d=-4}\\{8a+d=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-6}\\{d=56}\end{array}\right.$，
故抛物线解析式为：y=-6x+56，
当y=0则x=$\frac{28}{3}$，
故P点坐标为：（$\frac{28}{3}$，0），
故此时△PCD周长的最小值为：CD′+DC=2$\sqrt{37}$+2$\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了反比例函数综合以及待定系数法求一次函数解析式以及相似三角形的判定与性质等知识，根据题意得出D，C点坐标是解题关键．