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.把一个含45°角的直角三角板BEF和一个正方形ABCD摆放在一起,使三角板的直角顶点和正方形的顶点B重合,联结DF,点MN分别为DFEF的中点,联结MAMN.

(1)如图1,点EF分别在正方形的边CBAB上,请判断MAMN的数量关系和位置关系,直接
写出结论;

(2)如图2,点EF分别在正方形的边CBAB的延长线上,其他条件不变,那么你在(1)中得到的两个结论还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.
 

 


                     图1                                                图2


(1)解:连接DE,

∵四边形ABCD是正方形,

∴AD=CD=AB=BC,∠DAB=∠DCE=90°,

∵点M是DF的中点,

∴AM=DF.

∵△BEF是等腰直角三角形,

∴AF=CE,

在△ADF与△CDE中,

∴△ADF≌△CDE(SAS),

∴DE=DF.

∵点M,N分别为DF,EF的中点,

∴MN是△EFD的中位线,

∴MN=DE,

∴AM=MN;

∵MN是△EFD的中位线,

∴MN∥DE,

∴∠FMN=∠FDE.

∵AM=MD,

∴∠MAD=∠ADM,

∵∠AMF是△ADM的中位线,

∴∠AMF=2∠ADM.

∵△ADF≌△CDE,

∴∠ADM=∠DEC,

∴∠ADM+∠DEC+∠FDE=∠FMN+∠AMF=90°,

∴MA⊥MN.

∴MA=MN,MA⊥MN.

(2)成立.

理由:连接DE.

∵四边形ABCD是正方形,

∴AB=BC=CD=DA,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.

在Rt△ADF中,

∵点M是DF的中点,

∴MA=DF=MD=MF,

∴∠1=∠3.

∵点N是EF的中点,

∴MN是△DEF的中位线,

∴MN=DE,MN∥DE.

∵△BEF是等腰直角三角形,

∴BF=BF,∠EBF=90°.

∵点E、F分别在正方形CB、AB的延长线上,

∴AB+BF=CB+BE,即AF=CE.

在△ADF与△CDE中,

∴△ADF≌△CDE,

∴DF=DE,∠1=∠2,

∴MA=MN,∠2=∠3.

∵∠2+∠4=∠ABC=90°,∠4=∠5,

∴∠3+∠5=90°,

∴∠6=180°﹣(∠3+∠5)=90°,

∴∠7=∠6=90°,MA⊥MN.


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