Question

如图，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD．
（1）填空：点C的坐标是（

 

，

 

），点D的坐标是（

 

，

 

）；
（2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长；
（3）在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把x=0，y=0分别代入解析式求出A、B的坐标，即可得出C、D的坐标；
（2）根据勾股定理求出CD，证△BMC∽△DOC，得到比例式即可求出答案；
（3）有两种情况：①以BM为腰时，满足BP=BM的有两个；过点M作ME⊥y轴于点E，证△BME∽△BCM，求出BE、PE，进一步求出OP即可；②以BM为底时，作BM的垂直平分线，分别交y轴、BM于点P、F，根据等腰三角形的性质求出即可．

解答：解：（1）y=-2x+2，
当x=0时，y=2，
当y=0时，x=1
，∴A（1，0），B（0，2），
∵将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD，
∴OC=0A=1，OD=OB=2，
∴点C的坐标是（0，1），点D的坐标是（-2，0），
故答案为：0，1，-2，0．

（2）由（1）可知：CD=

OD2+OC2

=

5

，BC=1，
又∠ABO=∠ADC，∠BCM=∠DCO
∴△BMC∽△DOC（有两角对应相等的两三角形相似），
∴

BM

DO

=

BC

DC

，
 即

BM

2

=

1

5

，
∴BM=

2

5

=

2

5

5

，
答：线段BM的长是

2

5

5

．                         

（3）存在，
分两种情况讨论：
①以BM为腰时，
∵BM=

2

5

5

，又点P在y轴上，且BP=BM，
此时满足条件的点P有两个，它们是P₁（0，2+

2

5

5

）、P₂（0，2-

2

5

5

），
过点M作ME⊥y轴于点E，
∵∠BMC=90°，则△BME∽△BCM，
∴

BE

BM

=

BM

BC

，
∴BE=

BM2

BC

=

4

5

，
又∵BM=PM，
∴PE=BE=

4

5

，
∴BP=

8

5

，
∴OP=2-

8

5

=

2

5

，
此时满足条件的点P有一个，它是P₃（0，

2

5

），

②以BM为底时，作BM的垂直平分线，分别交y轴、BM于点P、F，
由（2）得∠BMC=90°，
∴PF∥CM，
∵F是BM的中点，
∴BP=

1

2

BC=

1

2

，
∴OP=OB-BP=2-

1

2

=

3

2

，
此时满足条件的点P有一个，它是P₄（0，

3

2

），
综上所述，符合条件的点P有四个，
它们是：P₁（0，2+

2

5

5

）、P₂（0，2-

2

5

5

）、P₃（0，

2

5

）、P₄（0，

3

2

）．
答：存在，所有满足条件的点P的坐标是P₁（0，2+

2

5

5

）、P₂（0，2-

2

5

5

）、P₃（0，

2

5

）、P₄（0，

3

2

）．

点评：本题主要考查对一次函数的综合题，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形变换-旋转等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．