分析 （1）利用相似三角形的性质求得EF于DF的比值，依据△CEF和△CDF同高，则面积的比就是EF与DF的比值，据此即可求解；
（2）利用三角形的外角和定理证得∠ADF=∠AFD，可以证得AD=AF，在直角△AOD中，利用勾股定理可以证得；
（3）连接OE，易证OE是△BCD的中位线，然后根据△FGC是等腰直角三角形，易证△EGF∽△ECD，利用相似三角形的对应边的比相等即可证得．
解答 
（1）解：如图①，∵$\frac{CE}{EB}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{CE}{BC}$=$\frac{1}{4}$．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴$\frac{EF}{DF}$=$\frac{CE}{AD}$，
∴$\frac{EF}{DF}$=$\frac{CE}{BC}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△CDF}}$=$\frac{EF}{DF}$=$\frac{1}{4}$；
（2）证明：如图②，∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF，
又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线．
∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，
∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF，
在直角△AOD中，根据勾股定理得：AD=$\sqrt{O{A}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$OA，
∴AF=$\sqrt{2}$OA．
（3）CG=$\frac{1}{2}$BG．理由如下：
如图③，连接OE．
∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点．
∴点O是BD的中点．
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥CD，OE=$\frac{1}{2}$CD，
∴△OFE∽△CFD．
∴$\frac{EF}{DF}$=$\frac{OE}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$．
又∵FG⊥BC，CD⊥BC，
∴FG∥CD，
∴△EGF∽△ECD，
∴$\frac{GF}{CD}$=$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$．
在直角△FGC中，∵∠GCF=45°．
∴CG=GF，
又∵CD=BC，
∴$\frac{GF}{CD}$=$\frac{CG}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{CG}{BG}$=$\frac{1}{2}$．
∴CG=$\frac{1}{2}$BG．
点评 本题考查了四边形综合题，解题过程中，利用了勾股定理、三角形的中位线定理、以及相似三角形的判定与性质的综合应用，理解正方形的性质是关键．
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如图，是一个4×4的方格，