Question

(2006山西课改，26)(14分)如图，已知抛物线与坐标轴的交点依次是A(－4，0)，B(－2，0)，E(0，8)．

(1)求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式；

(2)设抛物线的顶点为M，抛物线与x轴分别交于C、D两点(点C在点D的左侧)，顶点为N，四边形MDNA的面积为S．若点A、点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M、点N同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；

(3)当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；

(4)在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)点A(－4，0)，点B(－2，0)，点E(0，8) 关于原点的对称点分别为D(4，0)，C(2，0)，F(0，－8)． 设抛物线的解析式是 (a≠0)， 则解得 所以所求抛物线的解析式是． (2)由(1)可计算得点M(－3，－1)，N(3，1) 过点N作NH⊥AD，垂足为H． 当运动到时刻t时，AD=2OD=8－2t，NH=1＋2t． 根据中心对称的性质OA=OD，OM=ON，所以四边形MDNA是平行四边形．所以． 所以，四边形MDNA的面积． 因为运动至点A与点D重合为止，据题意可知0≤t＜4． 所以，所求关系式是，t的取值范围是0≤t＜4． (3)，(0≤t＜4)． 所以时，S有最大值． (4)在运动过程中四边形MDNA能形成矩形． 由(2)知四边形MDNA是平行四边形，对角线是AD、MN，所以当AD=MN，时四边形MDNA是矩形． 所以OD=ON．所以． 所以．解之得，(舍)． 所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时．

提示：

也可用顶点坐标公式来求．