Question

【题目】已知：a、b、c满足a=-b,|a+1|+（c-4）2=0，请回答问题:

（1）请求出a、b、c的值；

（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，P为数轴上一动点，其对应的数为x，若点P在线段BC上时，请化简式子：|x+1|-|1-x|+2|x-4|（请写出化简过程）；

（3）若点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，试探究当点P运动多少秒时，PC=3PB?

Answer 1

【答案】（1）a=-1, b=1,c=4；（2）-2x+10；（3）或秒

【解析】试题分析：

(1) 利用“若几个非负数之和为零则每一个非负数均为零”这一结论，可以得到a与c的值. 利用已知条件容易得到b的值.

(2) 根据“点P在线段BC上”可以得到x的取值范围. 根据x的取值范围，可以依次确定待化简式子中绝对值符号内的整式值的符号，再根据绝对值的代数意义去掉相应的绝对值符号，然后合并同类项即可得出答案.

(3) 设点P的运动时间为t秒. 分析题意可知，要想得到符合题意的运动时间，就需要获得线段PC与线段PB的长关于运动时间t的表达式. 对于线段PC的表达式，可以通过PC=AC-AP的关系得到. 线段AC的长易知；由于点P从点A出发沿直线向右运动，所以线段AP的长代表了点P的运动路程. 根据“路程等于速度乘以时间”这一等量关系，可以用t表示出线段AP的长. 对于线段PB的表达式，则需要按照点P与点B的相对位置进行讨论. 当点P在点B的左侧时，可根据PB=AB-AP获得线段PB的表达式；当点P在点B的右侧时，可根据PB=AP-AB获得线段PB的表达式. 在获得上述表达式后，利用等量关系PC=3PB列出方程求解时间t即可.

试题解析：

(1) 因为，所以a+1=0，c-4=0，即a=-1，c=4.

因为a=-b，a=-1，所以b=-a=-(-1)=1.

综上所述，a=-1，b=1，c=4.

(2) 因为点P在线段BC上，b=1，c=4，所以.

因为，所以x+1>0， ， .

当x+1>0时， ；

当时， ；

当时， .

因此，当点P在线段BC上(即)时，

=

=

=.

(3) 设点P的运动时间为t秒.

因为点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，所以AP=2t.

因为点A对应的数为-1，点C对应的数为4，所以AC=4-(-1)=5.

因为PC=3PB，所以PC>PB. 故点P不可能在点C的右侧.

因此，PC=AC-AP.

因为AP=2t，AC=5，所以PC=AC-AP=5-2t.

分析本小题的题意，点P与点B的位置关系没有明确的限制，

故本小题应该对以下两种情况分别进行求解.

①点P在点B的左侧，如下图.

因为点A对应的数为-1，点B对应的数为1，所以AB=1-(-1)=2.

因为AP=2t，AB=2，所以PB=AB-AP=2-2t.

因为PC=3PB，PC=5-2t，PB=2-2t，所以5-2t=3(2-2t).

解这个关于t的一元一次方程，得 .

②点P在点B的右侧，如下图.

因为AP=2t，AB=2，所以PB=AP-AB=2t-2.

因为PC=3PB，PC=5-2t，PB=2t-2，所以5-2t=3(2t-2).

解这个关于t的一元一次方程，得 .

综上所述，当点P运动或秒时，PC=3PB.