Question

如图，B是线段AC上一点，△ABD与△BCE均为等边三角形．
（1）求证：AE=CD；
（2）若△BCE'与△BCE关于直线AC轴对称，AE'与CD还相等吗？画出图形．若相等，请给出证明；若不相等，说明理由；
（3）AE'与BD相交于点F，CD与BE'相交于点G，连接FG，试判断△FBG的形状，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）易证△ABE≌△DBC，即可证得AE=CD；
（2）易知点E和E′关于直线AC轴对称，则可得AE=AE′，即可得出；
（3）由AE=DC，得∠EAD=∠CDA，则∠BAE=∠BDC，又∠BAE=∠BAE′，则可得∠BAE′=∠BDC，易得∠DBG=60°，易证△ABF≌△DBG，则可得FB=GB，所以，可得△FBG为等边三角形；

解答：证明：（1）∵△ABD与△BCE均为等边三角形，
∴在△ABE和△DBC中，

AB=DB ∠ABE=∠DBC BE=BC

，
∴△ABE≌△DBC，
∴AE=CD；

（2）∵△BCE'与△BCE关于直线AC轴对称，
∴点E和E′关于直线AC轴对称，
∴AE=AE′，又AE=AE′，
∴AE'=CD；

（3）∵△ABD与△BCE′均为等边三角形，
∴∠ABD=∠CBE′=60°，
∴∠DBE′=60°，
∵AE=DC，
∴∠EAD=∠CDA，
∴∠BAE=∠BDC，又∠BAE=∠BAE′，
∴∠BAE′=∠BDC，
在△ABF和△DBG中，

∠BAF=∠BDG AB=DB ∠ABF=∠DBG

，
∴△ABF≌△DBG，
∴BF=BG，
∴△FBG为等边三角形．

点评：本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质和轴对称图形的性质，注意正确画出图形，培养了学生综合运用知识解决问题的能力．