Question

已知x²-4mx+4m²+4m-5=0是关于x的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求m的取值范围；
（2）根据（1）的结论，若m为正整数，判断上述方程的根是否为整数根？

Answer 1

分析：（1）根据已知得出不等式（-4m）²-4（4m²+4m-5）≥0，求出不等式的解集即可；
（2）根据（1）求出m=1，把m=1代入方程，求出方程的解即可．

解答：解：（1）∵一元二次方程x²-4mx+4m²+4m-5=0有实数根，
∴△≥0，
即△=（-4m）²-4（4m²+4m-5）≥0，
解得：m≤

5

4

，
即m的取值范围是m≤

5

4

．

（2）∵m≤

5

4

，m为正整数，
∴m=1，
代入方程并整理得：x²-4x+3=0，
解得：x₁=3，x₂=1，
∴此时方程的根为整数根．

点评：本题考查了根与系数的关系和根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax²+bx+c=0（a、b、c为常数，且a≠0）的根的判别式是△=b²-4ac．