Question

已知△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，∠BDC=120°，E、F分别为AB和AC上任一点，且∠EDF=60°，DG⊥EF，求证：△BED≌△GED．

Answer 1

考点：全等三角形的判定

专题：证明题,几何综合题

分析：如图，延长AB到N，使BN=CF，连接DN，求出∠FCD=∠EBD=∠NBD=90°，根据SAS证△NBD≌△FCD，推出DN=DF，∠NDB=∠FDC，求出∠EDF=∠EDN，根据SAS证△EDF≌△EDN，推出BD=GD．从而证得结论．

解答：证明：如图，延长AB到N，使BN=CF，连接DN，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵△DBC是等腰三角形，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD，
在△NBD和△FCD中，

BD=DC ∠NBD=∠FCD=90°   BN=CF

，
∴△NBD≌△FCD（SAS），
∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，
∴∠EDB+∠FDC=60°，
∴∠EDB+∠BDN=60°，
即∠EDF=∠EDN，
在△EDN和△EDF中，

DE=DE ∠EDF=∠EDN    DN=DF

，
∴△EDN≌△EDF（SAS），
∴BD=DG，
在Rt△EBD与Rt△EGD中，

BD=GD ED=ED

，
∴Rt△EBD≌Rt△EGD（HL）．

点评：本题考查了等边三角形性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度，但是证明过程类似．