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    4．如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-5，0），B（1，0），直线l：y=$\frac{3}{4}$x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）若点P是x轴上方抛物线上对称轴左侧一动点，过点P分别作PE∥x轴交抛物线于点E，作PF⊥l交于点F，若PF=EP，求点P的坐标；
    （3）如图，抛物线顶点为G点，连接CG、DG，设抛物线对称轴与直线CD、x轴的交点为N、Q，以AQ、NQ为边作矩形AQNM．现将矩形AQNM沿直线GQ平移得到矩形A′Q′N′M′，设矩形A′Q′N′M′与△CDG的重叠部分面积为T，当3S△N'CD=5S△N'CO时，求T的值．

    分析 （1）根据待定系数法求得即可；
    （2）过点P作x轴的垂线交直线CD于点G，设P（m，-m2-4m+5），G（m，$\frac{3}{4}$m+3），得出PG=（-m2-4m+5）-（$\frac{3}{4}$m+3）=-m2-$\frac{19}{4}$m+2，根据对称轴求得PE=-4-2m，根据平行线的性质得出∠PGF=∠OCD，通过解直角三角形得出sin∠OCD=$\frac{OD}{CD}$=$\frac{4}{5}$，得出sin∠PGF=$\frac{PF}{PG}$=$\frac{4}{5}$，根据PF=EP得出-4-2m=$\frac{4}{5}$（-m2-$\frac{19}{4}$m+2），解得m的值，即可求得P的坐标；
    （3）由题意得${S_{△N'CO}}=\frac{1}{2}×CO×OQ=3$，${S_{△N'CD}}=\frac{1}{2}×NN'×OD=2NN'$，∵根据S△N'CD=5S△N'CO，得出6NN′=15，求得NN′=$\frac{5}{2}$，根据N的坐标即可得出N'（-2，4）或N'（-2，-1），然后分两种情况讨论即可求得．

    解答 解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-5，0），B（1，0），
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{-25-5b+c=0}\\{-1+b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=5}\end{array}\right.$，
    ∴抛物线的解析式y=-x2-4x+5；
    （2）如图1，过点P作x轴的垂线交直线CD于点G，设P（m，-m2-4m+5），G（m，$\frac{3}{4}$m+3），
    ∵抛物线对称轴x=$\frac{-5+1}{2}$=-2，故PE=-4-2m，
    ∵PG=（-m2-4m+5）-（$\frac{3}{4}$m+3）=-m2-$\frac{19}{4}$m+2，
    ∵直线l：y=$\frac{3}{4}$x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．
    ∴C（0，3），D（-4，0），
    ∴OC=3，OD=4，
    ∴CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=5，
    ∴sin∠OCD=$\frac{OD}{CD}$=$\frac{4}{5}$，
    ∵PG∥OC，
    ∴∠PGF=∠OCD，
    ∵PF⊥l交于点F，
    ∴sin∠PGF=$\frac{PF}{PG}$=$\frac{4}{5}$，
    ∴$PF=\frac{4}{5}PG=\frac{4}{5}（-{m^2}-\frac{19}{4}m+2）$，
    ∵PE=PF，
    ∴-4-2m=$\frac{4}{5}$（-m2-$\frac{19}{4}$m+2），解得m1=-4，m2=$\frac{7}{4}$（舍去），
    ∴P（-4，5）；
    （3）由题意得${S_{△N'CO}}=\frac{1}{2}×CO×OQ=3$，${S_{△N'CD}}=\frac{1}{2}×NN'×OD=2NN'$，
    把x=-2代入y=$\frac{3}{4}$x+3得，y=$\frac{3}{2}$，
    ∴N（-2，$\frac{3}{2}$），
    ∵3S△N'CD=5S△N'CO，
    ∴6NN′=15，
    ∴NN′=$\frac{5}{2}$，
    ∴N'（-2，4）或N'（-2，-1），
    当N'（-2，4）时，
    ∵y=-x2-4x+5=-（x+2）2+9，
    ∴抛物线顶点G（-2，9），
    ∴GN′=9-4=5，
    ∵D（-4，0），Q（-2，0），
    ∴DQ=2，
    ∵M′N′∥OA，
    ∴$\frac{HN′}{DQ}$=$\frac{GN′}{GQ}$，即$\frac{HN′}{2}$=$\frac{5}{9}$，
    ∴HN′=$\frac{10}{9}$，
    同理，SQ′=$\frac{13}{9}$，
    ∴T=（$\frac{10}{9}$+$\frac{13}{9}$）×$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{23}{12}$；
    当N'（-2，-1）时，T=0．

    点评 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，直角三角函数，平移的性质，平行线分线段成比例定理以及梯形的面积等，（2）求得sin∠PGF=$\frac{PF}{PG}$=$\frac{4}{5}$是解题的关键．

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    （1）猜想并写出：$\frac{1}{{n（{n+1}）}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
    （2）规律应用：计算：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$
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