Question

15．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3）、点B（4，1），点P是x轴正半轴上一动点．给出4个结论：
①线段AB的长为5；
②在△APB中，若AP=$\sqrt{13}$，则△APB的面积是3$\sqrt{2}$；
③使△APB为等腰三角形的点P有3个；
④设点P的坐标为（x，0），则$\sqrt{9+{x}^{2}}$+$\sqrt{（4-x）^{2}+1}$的最小值为4$\sqrt{2}$．
其中正确的结论有④．

Answer 1

分析 ①利用勾股定理可以计算AB的长；
②如图2，作辅助线，利用面积差可得△APB的面积；
③如图3，分别以AB为腰和底边作等腰三角形有两个，以∠B为顶角，以AB为腰作等腰三角形，其另一点P交在x轴的负半轴上，这一种情况不成立；
④如图4，先作垂线段BD，由勾股定理可知：$\sqrt{9+{x}^{2}}$就是PA的长，$\sqrt{（4-x）^{2}+1}$就是PB的长，所以$\sqrt{9+{x}^{2}}$+$\sqrt{（4-x）^{2}+1}$的最小值就是PA+PB的最小值，根据轴对称的最短路径问题可得结论．

解答 解：①如图1，过B作BC⊥OA于C，
∵点A（0，3）、点B（4，1），
∴AC=3-1=2，BC=4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
故①结论不正确；
②如图2，在Rt△APO中，AO=3，AP=$\sqrt{13}$，
∴OP=$\sqrt{（\sqrt{13}）^{2}-{3}^{2}}$=2，
过B作BD⊥x轴于D，
∴BD=1，PD=4-2=2，
∴S_△APB=S_梯形AODB-S_△AOP-S_△PDB，
=$\frac{1}{2}$×OD×（BD+AO）-$\frac{1}{2}$AO•OP-$\frac{1}{2}$PD•BD，
=$\frac{1}{2}$×4×（1+3）-$\frac{1}{2}$×3×2-$\frac{1}{2}$×2×1，
=8-3-1，
=4，
故②结论不正确；
③如图3，
i）以A为圆心，以AB为半径画圆与x轴的正半轴有一交点P₁，得△AP₁B是等腰三角形；
ii）作AB的中垂线，交x轴的正半轴有一交点P₂，得△AP₂B是等腰三角形；
综上所述，使△APB为等腰三角形的点P有2个；
故③结论不正确；
④如图4，过B作BD⊥x轴于D，
∵P（x，0），
∴OP=x，PD=4-x，
由勾股定理得：AP=$\sqrt{{3}^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{9+{x}^{2}}$，PB=$\sqrt{（4-x）^{2}+1}$，
作A关于x轴的对称点A'，连接A'B交x轴于P，则PA=PA'，
∴AP+PB=A'P+PB=A'B，
此时AP+PB的值最小，
过B作BC⊥OA于C，
则A'C=3+3-2=4，BC=4，
由勾股定理得：A'B=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴AP+PB的最小值是4$\sqrt{2}$，
即设点P的坐标为（x，0），则$\sqrt{9+{x}^{2}}$+$\sqrt{（4-x）^{2}+1}$的最小值为4$\sqrt{2}$．
故④结论正确；
综上所述，其中正确的结论有：④；
故答案为：④．

点评 本题考查了轴对称的最短路径问题、等腰三角形的判定、图形与坐标特点、勾股定理，是一个不错的综合题，难度适中，有等腰三角形和轴对称的作图问题，也有求最值问题，第4问中，熟练掌握并能灵活运用轴对称的最短路径问题是关键．