Question

【题目】已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点.

（1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；

（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；

（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；

（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）点D（﹣1，2）；（3）点P（，）（4）不存在，理由见解析.

【解析】

(1)利用待定系数法可求得函数的表达式，再通过配方即可求得顶点坐标；

(2)又S△CPD：S△BPD＝1：2，可得BD＝BC＝×＝，再利用解直角三角形的知识即可求得答案；

(3)设直线PE交x轴于点H，∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，则∠OHE＝45°，故OH＝OE＝1，解由①②构成的方程组即可求得答案；

(4)连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P(x，﹣x2﹣2x+3)，点H(x，x+3)，则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+(﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3)×3＝8，得到关于x的一元二次方程，根据方程解的情况即可得结论.

(1)∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A(1，0)和点B(﹣3，0)，

∴，

∴，

∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，

y＝﹣x2﹣2x+3=-(x+1)2+4，

∴顶点坐标为(﹣1，4)；

(2)设点D坐标为(xD，yD)，∵OB＝OC，∠BOC=90°，

∴∠CBO＝45°，BC=，

∵S△CPD：S△BPD＝1：2，

∴BD：DC=2：1，

∴BD＝BC＝×＝，

∴xD=-3+ BDcos∠CBO=-3+2=-1， yD＝BDsin∠CBO＝2，

∴点D(﹣1，2)；

(3)如图2，设直线PE交x轴于点，

∵∠OGE＝15°，∠EOG=90°，

∴∠OEG=90°-15°=75°，

∵∠PEG＝2∠OGE，

∴∠PEG＝2∠OGE＝30°，

∴∠OHE＝∠OGE+∠PEG=45°，∠HEO=∠OEG-∠PEG=45°，

∴OH＝OE＝1，

∴H(-1，0)，

设直线HE的解析式为y=mx+n，把H(-1，0)、E(0，-1)分别代入得，

解得，

∴直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，

联立①②并解得：，(舍去)，

故点P(，)；

(4)不存在，理由：

如图3，连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，

直线BC的表达式为：y＝x+3，

设点P(x，﹣x2﹣2x+3)，点H(x，x+3)，

则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+(﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3)×3＝8，

整理得：3x2+9x+7＝0，

解得：△＜0，故方程无解，

则不存在满足条件的点P.