Question

如图在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为上点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于点E．
（1）求证：△ABD为等腰三角形．
（2）求证：△DCA∽△AFE．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠MCD=∠DAB，
∵CD为∠BCA的外角的平分线，
∴∠MCD=∠ACD，
∵∠DCA=∠DBA，
∴∠DAB=∠DBA，
∴DB=DA，
∴△ABD为等腰三角形；

（2）由（1）知AD=BD，BC=AF，则弧AFD=弧BCD，弧AF=弧BC，
∴∠BDC=∠ADF，弧CD=弧DF，CD=DF，①
∴∠BDC+∠BDA=∠ADF+∠BDA，
即∠CDA=∠BDF，
而∠FAE+∠BAF=∠BDF+∠BAF=180°，
∴∠FAE=∠BDF=∠CDA，
同理∠DCA=∠AFE．
∴在△DCA与△FAE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE，
∴△DCA∽△AFE．
分析：（1）CD为∠BCA的外角的平分线得到∠MCD=∠ACD，求出∠MCD=∠DAB推出∠DBA=∠DAB即可；
（2）由在△CDA与△FAE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE，得出△DCA∽△FAE．
点评：本题主要考查对圆内接四边形，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是证此题的关键．