Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（4，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图1，点E是第一象限的抛物线上的一个动点．当△ACE面积最大时，请求出点E的坐标；

（3）如图2，在抛物线上是否存在一点P，使∠CAP＝45°？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2．（2）当x＝2时，S△ACE取得最大值4．（3）（﹣，﹣）

【解析】

（1）由题意可得点A（4，0），C（0，2），用待定系数法求解即可得到答案．（2）过点E作EF∥y轴交AC于点F，用待定系数法得到直线AC的解析式为y＝﹣x+2，设点E（x，﹣x2+x+2），则F（x，﹣x+2），则EF＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣x2+2x，所以由S△ACE＝S△CEF+S△AEF得到二次函数，根据二次函数的顶点即可解答．（3）如图2中，将线段AC绕点A逆时针旋转90°得到AC′，则C′（2，4），取CC′的中点H（1，1），作直线AH交抛物线于P，此时∠PAC＝45°，求出直线AH的解析式，构建方程组即可解决问题．

解：（1）将点A（4，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得：

，

解得：，

∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2．

（2）如图1，过点E作EF∥y轴交AC于点F，

设直线AC的解析式为y＝kx+2，

∴4k+2＝0，

∴k＝﹣，

∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，

设点E（x，﹣x2+x+2），则F（x，﹣x+2），

则EF＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣x2+2x，

∴S△ACE＝S△CEF+S△AEF＝EFOA＝（﹣x2+2x）×4＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，

∵﹣1＜0，

∴当x＝2时，S△ACE取得最大值4．

（3）如图2中，将线段AC绕点A逆时针旋转90°得到AC′，则C′（2，﹣4），取CC′的中点H（1，﹣1），作直线AH交抛物线于P，此时∠PAC＝45°，

∵A（4，0），H（1，﹣1），

∴直线AH的解析式为y＝x﹣，

由，解得或，

∴P（， ）．

作直线AP′⊥PA，则直线AP′的解析式为y＝﹣3x+12，

由，解得或（不合题意舍弃），

综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣，﹣）