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    已知BC为⊙O直径，D是直径BC上一动点（不与点B，O，C重合），过点D作直线AH⊥BC交⊙O于A，H两点，F是⊙O上一点（不与点B，C重合），且
    AB
    =
    AF
    ，直线BF交直线AH于点E．
    （1）如图（a），当点D在线段BO上时，试判断AE与BE的大小关系，并证明你的结论；
    （2）当点D在线段OC上，且OD＞DC时，其它条件不变．精英家教网
    ①请你在图（b）中画出符合要求的图形，并参照图（a）标记字母；
    ②判断（1）中的结论是否还成立，请说明理由．
    分析：（1）AE=BE，可根据垂径定理得出弧AB=弧BH，已知了弧AB=弧AF，因此弧BH=弧AF，根据圆周角定理可得出∠BAH=∠ABF根据等角对等边即可得出AE=BE．（方法不唯一）
    （2）结论不变，证法同（1），根据垂径定理可得出弧AC=弧CH，因此弧AB=弧BH，由于弧AB=弧AF，因此弧AF=弧BH，即∠BAE=∠ABE，因此AE=BE．
    解答：精英家教网解：（1）AE=BE
    证法①：
    ∵BC为⊙O直径，AH⊥BC于点D
    ∴
    AB
    =
    BH

    又∵
    AB
    =
    AF

    ∴
    BH
    =
    AF

    ∴∠1=∠2
    ∴AE=BE．
    证法②：
    连AF，AC
    ∵BC是⊙O直径，AH⊥BC于点D
    ∴∠BAC=∠ADB=90°
    ∴∠2+∠ABD=90°，∠ABD+∠C=90°
    ∴∠2=∠C
    ∵∠F=∠C
    ∴∠2=∠F
    又∵
    AB
    =
    AF

    ∴∠1=∠F
    ∴∠1=∠2
    ∴AE=BE．
    证法③：
    连接OA，交BF于点G
    ∵
    AB
    =
    AF

    ∴OA⊥BF
    又∵AD⊥BC
    ∴∠ADO=∠BGO
    又∵∠AOB=∠AOB
    ∴△AOD∽△BOG
    ∴∠OBE=∠OAD
    ∵OA=OB
    ∴∠OAB=∠OBA
    ∴∠1=∠2
    ∴AE=BE

    （2）①所画图形如右图所示，AE=BE成立
    证法①：
    ∵BC是⊙O直径，AH⊥BC于点D精英家教网
    ∴
    AB
    =
    BH

    又
    AB
    =
    AF

    ∴
    BH
    =
    AF

    ∴∠BAE=∠ABE
    ∴AE=BE．

    证法②：
    连接AC，AF
    ∵BC是⊙O直径，BC⊥AD于点D
    ∴∠BAC=∠ADC=90°
    ∵
    AB
    =
    BH

    ∴∠BAD=∠C
    又∵
    AB
    =
    AF

    ∴∠ABF=∠AFB
    又∵∠C=∠AFB
    ∴∠ABF=∠BAE
    ∴BE=AE．
    证法③：
    连接AO并延长AO交BF于点G
    ∵
    AB
    =
    AF
    ，AG过圆心
    ∴AG⊥BF
    又∵AH⊥BC于点D
    ∴∠ADO=∠OGB=90°
    又∵BC为⊙O直径，∠2=∠3
    ∴∠GBO=∠DAO
    又∵OA=OB
    ∴∠4=∠5
    ∴∠ABG=∠BAD
    ∴BE=AE．
    点评：本题考查了垂径定理、圆周角定理等知识．找出与所求边相关的弧之间的关系是解题的关键．
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